数值分析第五版（李庆扬编著）期末复习笔记.docx

《数值分析第五版》是李庆扬、王能超、易大义合著的一本教材，这本教材的期末复习笔记涵盖了数值分析的核心概念和方法。以下是对笔记中提到的知识点的详细阐述： 1. 误差来源及减少方法： - **误差来源**：包括模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。模型误差是理论模型与实际问题的差距，观测误差来自数据采集，截断误差源于近似解与精确解的不同，而舍入误差则是计算机处理浮点数时引入的不精确性。 - **减少误差的方法**：避免大数除以小数、避免相近数相减、防止大数吃小数以及减少运算次数，都是降低误差的有效策略。 2. 绝对误差与相对误差及有效数字： - **绝对误差**是数值之间的差异，而**相对误差**是无量纲的，用于度量近似值相对于真实值的精确度。 - **定理1**指出，如果近似值的相对误差限不超过某个值，那么它至少具有指定数量的有效数字。 - **定义2**描述了有效数字的数量如何与误差限相关联，误差限等于某一位的半个单位时，从第一位非零数字算起，就确定了有效数字的个数。 3. 拉格朗日插值： - **线性插值**（L1(x)）通过两点的坐标来构建，线性插值基函数lk(x)和lk+1(x)满足归一化条件。 - **二次插值**（L2(x)）涉及三个点，利用三次拉格朗日基函数构建一个二次多项式，确保通过所有三个插值点。 - **拉格朗日插值多项式**（Ln(x)）是一般形式，通过n+1个点构建n次多项式，其中包含插值基函数lk(x)和权重系数ωn+1(x_k)。 - 插值余项如R1(x)和R2(x)揭示了插值多项式与原函数之间的差异，它们与函数的高阶导数相关，并且在插值节点的邻域内给出误差估计。 4. 函数逼近和最佳平方逼近： - **函数逼近**是寻找一个简单的函数来近似复杂函数的过程，可以是多项式、样条或其他类型的函数。 - **最佳平方逼近**（也称为最小二乘法）旨在找到一个函数，使所有数据点与该函数之间的偏差平方和最小，这在数据拟合和曲线拟合中有广泛应用。 5. 最小二乘法及其计算： - 最小二乘法是解决线性和非线性问题的一种优化方法，用于找到一组参数使得残差平方和最小。 - 计算涉及矩阵运算，例如解线性系统或使用梯度下降等算法。 6. 三角分解法（LU分解）： - **LU分解**是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，用于高效求解线性系统Ax=b。 7. 代数精度： - **代数精度**指一个数值解相对于直接解的精度，特别是在迭代法中，比如牛顿迭代法，代数精度是衡量迭代过程收敛速度的重要指标。 8. 牛顿迭代（Newton's method）： - 牛顿迭代是一种查找函数零点的迭代方法，通过不断应用牛顿-拉弗森公式来逼近根，每次迭代通过二阶导数信息来改进近似。 这些知识点构成了数值分析的基础，对于理解和解决实际问题至关重要，特别是在工程、科学计算和数据分析等领域。通过掌握这些概念，可以更有效地处理数值计算中的误差，实现高效且准确的数值方法。