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数值分析第五版（李庆扬编著）期末复习笔记.docx

数值分析

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数值分析第五版（李庆扬编著）期末复习笔记，此笔记仅由个人根据老师给的期末考纲进行归纳。

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数值分析第 5 版（李庆扬、王能超、易大义）

一、误差的 4 种来源和减少方法.......................................1

二、相对误差与绝对误差（P5）&有效数字（P6）........................1

三、拉格朗日插值（P24）............................................2

四、函数逼近.......................................................4

五、最佳平方逼近（P67）............................................5

六、最小二乘法及其计算（P73）......................................8

七、三角分解法（LU）（P152）........................................9

八、代数精度（P98）...............................................10

九、牛顿迭代（P224）..............................................13

一、误差的 4 种来源和减少方法

1. 误差来源（P4）

①　模型误差：数学模型与实际问题之间出现的误差；

②　观测误差：由观测产生的误差；

③　截断误差（方法误差）：近似解与精确解之间的误差；

④　舍入误差：由于计算机字长有限和浮点数表示方法的问题，计算机会

按照舍入原则对超过其表示精度的数据舍入，导致结果的不精确。

2. 减少方法（P11）

①　避免“大数”除以“小数”；

②　避免两个相近数相减；

③　防止“大数”吃“小数”；

④　减少运算次数。

二、相对误差与绝对误差（P5）&有效数字（P6）

有量纲的

绝对误差

∗

−x

绝对误差限

∗

的上限

2. 无量纲的

相对误差

𝑒

∗

𝑟

𝑒

∗

𝑥

∗

相对误差限

𝜀

∗

𝑟

𝜖

∗

𝑥

∗

，（

𝜀

∗

𝑟

越小表示

𝑥

∗

近似

𝑥

的程度越好）

3. 【定理 1 】设近似数 x

= ± 10

× (a

× 10

-1

+ … +a

× 10

-(l-1)

) ，其中

(i=1,2,…,l)是 0-9 中的一个数字，a

≠0，m 为整数。若 x

的相对误差限

𝜀

∗

𝑟

≤

𝑎

−(𝑛−1)

，则 x

至少有 n 位有效数字；反之，若 x

有 n 位有效数

字，则其相对误差限

𝜀

∗

𝑟

≤

𝑎

−(𝑛−1)

，绝对误差限

𝑒

∗

𝑥−

𝑥

∗

≤

𝑚−𝑛

。

4. 【定义 2】若近似值 x

的误差限是某一位的半个单位，该位到 x

的第一位非

零数字共有 n 位，就说 x

有 n 位有效数字，它可表示为 x

=±10

×(a

-1

+…+a

×10

-(l-1)

)，其中 a

(i=1,2,…,l)是 0-9 中的一个数字，a

≠0，m 为整

数，且绝对误差限

𝑒

∗

𝑥−

𝑥

∗

≤

𝑚−𝑛

。

三、拉格朗日插值（P24）

1. 线性插值多项式 L

(x)

（点斜式）：

𝐿

(𝑥)

𝑦

𝑘

𝑦

𝑘

−

𝑦

𝑘

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

∙

(𝑥−

𝑥

𝑘

)

（两点式）：

𝐿

(𝑥)

𝑦

𝑘

∙

𝑥−

𝑥

𝑘

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

𝑦

𝑘

∙

𝑥−

𝑥

𝑘

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

，其中

𝑙

𝑘

(𝑥)

𝑥−

𝑥

𝑘

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

，

𝑙

𝑘

(𝑥)

𝑥−

𝑥

𝑘

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

，为线性插值基函数，

∑

𝑛

𝑖

𝑙

𝑖

(𝑥)

。

2. 二次插值多项式 L

(x)

𝐿

(𝑥)

𝑦

𝑘−1

∙

(𝑥−

𝑥

𝑘

)(𝑥−

𝑥

𝑘

)

(

𝑥

𝑘−1

−

𝑥

𝑘

)(

𝑥

𝑘−1

−

𝑥

𝑘

)

𝑦

𝑘

∙

(𝑥−

𝑥

𝑘−1

)(𝑥−

𝑥

𝑘

)

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘−1

)(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

)

𝑦

𝑘

∙

(𝑥−

𝑥

𝑘−1

)(𝑥−

𝑥

𝑘

)

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘−1

)(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

)

3. 拉格朗日插值多项式

𝐿

𝑛

(𝑥)

∑

𝑛

𝑘

𝑦

𝑘

∙

𝑙

𝑘

(𝑥)

∑

𝑛

𝑘

𝑦

𝑘

∙

𝜔

𝑛

(𝑥)

(𝑥−

𝑥

𝑘

)

𝜔

′

𝑛

(

𝑥

𝑘

)

，其中 y

表示各个插值点的函数

值

n 次插值基函数

𝐿

𝑘

(𝑥)

(𝑥−

𝑥

)

⋯

(𝑥−

𝑥

𝑘−1

)(𝑥−

𝑥

𝑘

)

⋯

(𝑥−

𝑥

𝑛

)

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

)

⋯

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘−1

)(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

)

⋯

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑛

)

，k=0,1，…,n.

𝜔

𝑛

(𝑥)

(𝑥−

𝑥

)

∙

(𝑥−

𝑥

)

⋯

(𝑥−

𝑥

𝑛

)

𝜔

′

𝑛

(

𝑥

𝑘

)

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

)

⋯

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘−1

)(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑘

)

⋯

(

𝑥

𝑘

−

𝑥

𝑛

)

4. 插值余项

n=1，线性插值余项

𝑅

(𝑥)

𝑓

′

(

𝛿

)

∙

𝜔

(𝑥)

𝑓

′

(

𝛿

)

∙

(𝑥−

𝑥

)

∙

(𝑥−

𝑥

)

，

∈

[

𝑥

]

n=2，抛物线插值余项

𝑅

(𝑥)

𝑓

′

(

𝛿

)

∙

(𝑥−

𝑥

)

∙

(𝑥−

𝑥

)

∙

(𝑥−

𝑥

)

，

∈

[

𝑥

]

插值余项

𝑅

𝑛

(𝑥)

𝑓(𝑥)−

𝐿

𝑛

(𝑥)

𝑓

(𝑛

(

𝛿

)

(𝑛

1)!

∙

𝜔

𝑛

(𝑥)

5. 截断误差限

𝑅

𝑛

(𝑥)

≤

𝑀

𝑛

(𝑛

1)!

𝜔

𝑛

(𝑥)

，

𝑀

𝑛

max

𝑎

≤

𝑥

≤

𝑏

𝑓

(𝑛

(𝑥)

6. 插值法

设函数 y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点 a≤x

＜x

＜…＜x

≤b 上的

值 y

,...,y

，若存在一简单函数 P(x)，使 P(x

)=y

，i=0,1,...,n 成立，就称 P(x)为

f(x)的插值函数点，x

,...,x

称为插值节点，包括插值节点的区间[a,b]称为插值

区间，求插值函数 P(x)的方法称为插值法。

(1) 拉格朗日插值（Lagrange）

Lagrange 插值是 n 次多项式插值，成功地用构造插值基函数的方法解决了求

n 次多项式插值函数的问题。

基本思想：将待求的 n 次多项式插值函数 P

(x)改写成另一种表示方法，再利

用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。

(2) 牛顿插值（Newton）（P29）

Newton 插值也是 n 次多项式插值，提出了逐次生成插值多项式的方法。

基本思想：将待求的 n 次插值多项式 P

(x)改写成具有承袭性的形式，再利用

插值条件确定 P

(x)的待定系数，从而求出插值函数。

(3) 埃尔米特插值（Hermite）（P35）

Hermite 插值利用位置函数 f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值

多项式。

基本思想：利用 Lagrange 插值函数的构造方法，先设定函数形式，再利用插

值条件求出插值函数。

(4) 分段插值（P40）

基本思想：将被插值函数 f(x)的插值节点从小到大排序，然后在每对相邻的

两个节点为端点的区间上用 m 次多项式去近似 f(x)。

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