数值分析答案（李庆扬）

本文将详细探讨数值分析中的关键知识点，包括插值法、解积分微分以及解线性方程。我们来看插值法的三种常见方法：单项式基底、Lagrange 插值基底和 Newton 基底。 1. 单项式基底插值：在给定的节点上，通过构建多项式来逼近函数 f(x)，例如在 x=1，-1，2 时，f(x) 分别为 0，-3，4。设多项式为 P(x) = ax^2 + bx + c，代入节点值可求得 a，b，c，从而得到二次插值多项式。 2. Lagrange 插值基底：利用 Lagrange 插值多项式 L(x) = Σ(f(xi) * Li(x))，其中 Li(x) 是基于每个节点 xi 的 Lagrange 基多项式。对于三个节点，同样可以求得 f(x) 的二次插值多项式。 3. Newton 基底：利用 Newton 的前向和后向差商，构建 Newton 插值多项式 N(x) = Σ(f(xi) * ni(x))，ni(x) 是基于节点 xi 的 Newton 差商。这里也得到相同的结果，证明了三种方法的等价性。 接下来讨论数值积分与数值微分： 1. 求积分公式：为了提高代数精度，我们需要找到合适的待定参数，使得公式对某些特定多项式精确。例如，通过比较多项式和积分公式的值，可以解出参数，以达到 2 次或 3 次代数精确度。 2. 梯形公式和辛普森公式：这两种是常用的数值积分方法。例如，对于某个积分，可以通过复化梯形公式和复化辛普森公式来计算，它们分别给出了近似的积分值。 数值微分通常涉及使用矩形法来估算导数值，例如左矩形、右矩形和中矩形法。误差可以通过余项公式进行估计，并选择适当的步长以满足所需的精度。 解线性方程的部分涉及到直接方法，如列主元消去法和三角分解法： 1. 列主元消去法：通过行变换逐步消除非主元列的元素，最终将系数矩阵转化为上三角或下三角形式，进而求解线性方程组。同时，行列式的值可以帮助判断方程组是否有唯一解。 2. 直接三角分解：如高斯消元法和LU分解，将矩阵分解为两个三角矩阵的乘积，然后分别对下三角矩阵进行回代，从而求得解。 总结来说，数值分析是研究如何用数值方法近似解决数学问题的学科。插值法用于构建多项式逼近函数，积分和微分的方法用于估算函数的积分和导数，而解线性方程的方法则帮助我们求解线性方程组。这些工具广泛应用于工程、科学计算和数据分析等领域。