【文章标题】: 2002年全国数学建模竞赛A题——车灯线光源优化设计
【文章概述】: 这篇文章是2002年全国数学建模竞赛A题的一篇获奖作品，主要探讨了车灯线光源的优化设计方案。作者薛武等人通过建立数学模型来解决如何设计线光源，使其在经过抛物面反射后能够满足特定光照强度要求。文章提出了一个连续的数学模型，考虑了光的发散现象，并用Jacobi行列式来描述反射光的精确关系。然后，作者将问题转化为非线性规划问题，并通过离散化方法简化模型，但由于离散化过程中忽略了光的散射，导致计算结果有偏差。他们使用向量投影的方法对散射进行了简化处理，最终得出最优线光源长度为3.39mm。
【关键知识点】:
1. **线光源优化设计**：文章旨在优化车灯线光源的设计，确保其在特定点（B点和C点）达到所需的光照强度。
2. **数学建模**：通过建立连续模型描述光线经过抛物面反射后到达光屏的过程，模型考虑了光的发散现象，并用Jacobi行列式表示反射点与测试点之间的关系。
3. **非线性规划**：将问题转化为一个非线性规划问题，其中约束条件是B点的光照强度至少是C点的两倍。
4. **Jacobi行列式**：在连续模型中，Jacobi行列式用于表示反射点到测试屏目标点的变换，刻画了反射面元面积与照射到的微元面积之间的精确关系。
5. **光的散射**：考虑到光在传播过程中的发散，用Jacobi行列式进行描述，但离散模型中简化了这一过程。
6. **向量投影**：为了解决离散模型中散射的复杂性，采用向量投影的方法粗略估算两个面积微元之间的关系，关联光线的起始方向和反射点坐标，以模拟光的散射效果。
7. **离散模型**：将连续模型简化为离散模型，通过计算单条光线对光照强度的贡献，来逼近整体的光照强度分布。
8. **光线追踪**：计算从线光源上的每个点出发，经过抛物面反射后到达B点和C点的光线，以及这些光线对B点和C点的光照强度贡献。
9. **优化目标**：最小化线光源的发光总强度，同时满足B点和C点的光照强度约束。
10. **参数解释**：包括焦参数p、线光源光能线密度λ、线光源长度R、半轴长W、总发光强度Q、单位法向量v等，这些都是构建模型和求解问题的关键参数。
通过上述方法，作者最终找到了满足条件的最优线光源长度，展示了数学模型在解决实际工程问题中的应用价值。
