机器人中手眼标定算法推导过程

### 手眼标定算法推导过程 #### 1. SLAM坐标系与标定 在探讨手眼标定之前，我们首先需要了解几个基本概念，尤其是与坐标系相关的概念。 **1.1 SLAM中的坐标系** 在SLAM(同时定位与建图)系统中，通常涉及多个坐标系： - **相机参考坐标系(CRC)**：表示相机静止时所在的坐标系。 - **相机运动坐标系(CMC)**：表示相机在运动过程中相对于其初始位置的变化。 - **IMU参考坐标系(IRI)**：表示惯性测量单元(IMU)静止时所在的坐标系。 - **IMU运动坐标系(IMC)**：表示IMU在运动过程中相对于其初始位置的变化。 - **世界坐标系(WCS)**：用于全局参考的坐标系，是SLAM算法中构建地图的基础。 - **载体坐标系(VCS)**：表示机器人或载体的位置坐标系。 为了简化分析，通常假设IMU放置在载体坐标系的原点，这意味着IMU运动坐标系和载体坐标系是完全重合的。此外，在局部坐标系中，通常选择世界坐标系作为全局参考坐标系。 **1.2 SLAM标定方程推导** 在手眼标定过程中，我们需要确定相机相对于IMU的固定位姿，即从IMU参考坐标系到相机参考坐标系的转换关系。设\( T_{CIM} \)表示这一转换关系。 - \( _{W}^C P_t \) 表示在时刻\( t \)，从世界坐标系\( W \)到相机坐标系\( C \)的空间点\( P \)的坐标转换。 - \( _{W}^I P_t \) 表示在时刻\( t \)，从世界坐标系\( W \)到IMU坐标系\( I \)的空间点\( P \)的坐标转换。 - \( T_{CIM} \) 是一个固定的转换矩阵，表示从IMU参考坐标系\( I \)到相机参考坐标系\( C \)的转换。 根据坐标变换的基本原理，我们可以推导出以下关系： \[ _{W}^C P_t = _{W}^I P_t \cdot T_{CIM} \] 其中，\( _{W}^C P_t \) 和 \( _{W}^I P_t \) 分别可以通过各自的位姿矩阵\( _{W}^C R_tC_t \) 和 \( _{W}^I R_tI_t \)计算得到。由此，我们可以进一步展开为： \[ _{W}^C R_tC_t P = (_{W}^I R_tI_t P) T_{CIM} \] 为了简化求解过程，可以通过最小二乘法求解\( T_{CIM} \)。 **1.3 四元数手眼标定** 在实际应用中，为了更好地处理旋转和平移之间的关系，通常采用四元数表示旋转。 **1.3.1 先标定姿态再标定杆臂** 我们考虑只标定姿态，然后基于已知的姿态来标定杆臂。 - **标定姿态**：在已知\( _{W}^C R_tC_t \)和\( _{W}^I R_tI_t \)的情况下，求解四元数\( q \)。 - **标定杆臂**：在已知\( q \)的情况下，求解平移矢量\( t \)。 通过最小二乘法，可以将问题转化为求解四元数乘法的形式，进而求解特征值问题找到最小特征值对应的特征向量作为\( q \)的解。 **1.3.2 姿态和杆臂联合求解** 另一种方法是联合求解姿态和杆臂，这通常涉及到迭代算法。该方法首先假设姿态已知，然后基于当前的姿态求解最优的杆臂长度，再基于求得的杆臂长度更新姿态，重复这一过程直至收敛。 - **姿态误差**：通过对比理论姿态和实际测量的姿态，计算姿态误差。 - **迭代求解**：设定初始姿态\( q_0 \)，通过迭代优化过程，不断调整姿态和杆臂，直到满足收敛条件为止。 联合求解的方法虽然计算量更大，但通常能提供更高的精度和稳定性。 手眼标定是一个涉及多坐标系转换和优化求解的过程，通过合理的数学模型和算法设计，可以有效地解决机器人中视觉传感器和IMU之间的相对位姿标定问题。