在概率论中，相互独立事件是指两个或多个事件，它们的发生概率互不影响。例如，如果事件A的发生不会改变事件B发生的概率，反之亦然，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。在数学表达上，如果A和B是相互独立的，那么事件A和B同时发生的概率可以通过乘法公式计算：P(A和B) = P(A) * P(B)。
独立重复实验，又称为伯努利试验，是概率论中的一个重要概念，指的是在相同条件下多次进行的实验，每次实验只有两种可能的结果，比如成功和失败，且每次实验的成功概率保持不变。例如，抛一枚公正的硬币，每次投掷出现正面的概率是0.5，连续投掷n次，研究恰好出现k次正面的概率。
理解相互独立事件的特征至关重要，它关注的是两个事件之间的关系；这两个事件是在两次不同的试验中观察到的；一个事件发生的概率不受另一个事件发生的影响。需要注意的是，相互独立事件并不意味着它们不能同时发生，实际上它们可以同时发生。而互斥事件则指在同一试验中，两个事件不能同时发生，它们是两种不同的概率概念。
在考试中，你需要掌握如何计算相互独立事件同时发生的概率，以及在独立重复试验中，某个事件恰好发生k次的概率。例如，甲乙两人独立解决问题，恰好一人解决的概率是甲未解决且乙解决的概率加上甲解决且乙未解决的概率，即p1(1-p2) + p2(1-p1)。
对于基础训练题目：
1. 答案是B，因为恰好一人解决的问题概率是甲未解决且乙解决加上甲解决且乙未解决。
2. 设k次正面的概率为P(k)，根据二项分布的性质，P(k)=P(k+1)，可得k=1，答案是B。
3. 由于三项标准互不影响，所以三项均合格的概率为各自概率的乘积，答案是A。
4. 三人独立解答只有一人解出的概率是每个人解出且其他人未解出的概率之和，即P1*(1-P2)*(1-P3) + (1-P1)*P2*(1-P3) + (1-P1)*(1-P2)*P3。
5. 司机遇到红灯的概率是，已经通过两个交通岗后再遇到红灯的概率是(1-)^2 * ，所以遇到红灯前已过两岗的概率是这个概率的相反数，即1- (1-)^2 * 。
对于例题和类题演练，我们需要应用上述概率理论来解决问题。例如：
- 例题1：目标恰好被甲击中的概率是0.9，不被击中的概率是(1-0.9)，被击中的概率是1减去不被击中的概率。
- 类题演练1：他们都解决此问题的概率是0.7*0.6*0.5，此问题被解决的概率是1减去都没解决的概率，即1-(1-0.7)*(1-0.6)*(1-0.5)。
- 变式提升1：可以设立三个变量分别表示甲、乙、丙需要照顾的概率，然后利用给定条件列方程求解。
- 例题2：恰好两次取到红球的概率是(5/8)^2 * (3/8)^2，至少一次取到红球的概率是1减去四次全取到白球的概率。
- 类题演练2：恰有2个一级品的概率是组合数C(5,2) * (0.3)^2 * (0.7)^3，至少有2个一级品的概率是1减去最多1个一级品的概率。
- 变式提升2：两人都抽到足球票的概率是6/10 * 4/10，至少一人抽到足球票的概率是1减去两人都没抽到的概率。
- 例题3：系统N1正常工作的概率是0.8*0.9*0.9，系统N2正常工作的概率是0.8 * (1 - (1-0.9)*(1-0.9))。
- 类题演练3：线路正常工作的概率是每个开关都闭合的概率的乘积，即0.7^3。
- 变式提升3：线路正常工作的情况包括所有开关都闭合或者至少有一个开关闭合，计算所有可能情况的概率并相加。
通过这些例子和练习，我们可以深入理解相互独立事件的概念，并掌握如何计算相关概率。这在实际问题解决中，特别是在统计分析、风险评估等领域具有广泛的应用价值。
