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行程问题解题技巧.doc
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行程问题解题技巧
走走停停的要点与解题技巧
一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做
1.画出速度和路程的图。
2.要学会读图。
3.每一个加速减速、匀速要分清楚,这有利于你的解题思路。
4.要注意每一个行程之间的联系。
二、学好行程问题的要诀
行程问题可以说是难度最大的奥数专题。
类型多:行程分类细,变化多,工程抓住工作效率和比例关系,而行程每个类型重点不一,
因此没有一个关键点可以抓
题目难:理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学,动态分析需要较高的理解能力、逻
辑分析和概括能力
跨度大:从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度,需要不断的复习巩固来加深理解、
夯实根底
那么想要学好行程问题,需要掌握哪些要诀呢?
要诀一:大局部题目有规律可依,要诀是"学透"根本公式
要诀二:无规律的题目有"攻略",一画〔画图法〕二抓〔比例法、方程法〕
竞赛考试中的行程题涉与到很多中数学方法和思想〔比如:假设法、比例、方程〕等的熟练
运用,而这些方法和思想,都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。
例 1.甲乙两人同时从一条 800 环形跑道同向行驶,甲 100 米/分,乙 80 米/分,两人每
跑 200 米休息 1 分钟,甲需多久第一次追上乙?
【解答】这样的题有三种情况:在乙休息完毕时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被
追上。很显然首先考虑在休息完毕时的时间最少,如果不行再考虑在休息过程中被追上,最
后考虑行进中被追上。其中在休息完毕时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休
息点追上的。
由此首先考虑休息 800÷200-1=3 分钟的情况。甲就要比乙多休息 3 分钟,就相当
于甲要追乙 800+80×3=1040 米,需要 1040÷〔100-80〕=52 分钟,52 分钟甲行
了 52×100=5200 米,刚好是在休息点追上的满足条件。行 5200 米要休息 5200÷200
-1=25 分钟。
因此甲需要 52+25=77 分钟第一次追上乙。
400 米环形跑道上,A、B 两点的跑道相距 200 米,甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出
发,按逆时针方向跑步,甲每秒跑 7 米,乙每秒跑 5 米,他们每人跑 100 米都停 5 秒.那
么,甲追上乙需要多少秒?
【解答】这是传说中的“走走停停〞的行程问题。
这里分三种情况讨论休息的时间,第一、如果在行进中追上,甲比乙多休息 10 秒,第二,
如果在乙休息完毕的时候追上,甲比乙多休息 5 秒,第三,如果在休息过程中且又没有休
息完毕,那么甲比乙多休息的时间,就在这 5~10 秒之间。显然我们考虑的顺序是首先看
是否在完毕时追上,又是否在休息中追上,最后考虑在行进中追上。
有了以上的分析,我们就可以来解答这个题了。我们假设在同一个地点,甲比乙晚出发
的时间在 200/7+5=235/7 和 200/7+10=270/7 的之间,在以后的行程中,甲就要
比乙少用这么多时间,由于甲行 100 米比乙少用 100/5-100/7=40/7 秒。
继续讨论,因为 270/7÷40/7 不是整数,说明第一次追上不是在乙休息完毕的时候追
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上的。因为在这个 X 围内有 240/7÷40/7=6 是整数,说明在乙休息的中追上的。即甲共
行了 6×100+200=800 米,休息了 7 次,计算出时间就是 800/7+7×5=149 又 2/7
秒。
注:这种方法不适于休息点不同的题,具有片面性。
例 1、快车和慢车分别从 A,B 两地同时开出,相向而行.经过 5 小时两车相遇.慢车从 B
到 A 用了 12.5 小时,慢车到 A 停留半小时后返回.快车到 B 停留 1 小时后返回.问:两车从
第一次相遇到再相遇共需多少时间?
【解答】画一 X 示意图:
设 C 点是第一次相遇处.慢车从 B 到 C 用了 5 小时,从 C 到 A 用了 12.5-5=7.5〔小
时〕.我们把慢车半小时行程作为 1 个单位.B 到 C10 个单位,C 到 A15 个单位.慢车每小时
走 2 个单位,快车每小时走 3 个单位.
有了上面"取单位"准备后,下面很易计算了.
慢车从 C 到 A,再加停留半小时,共 8 小时.此时快车在何处呢?去掉它在 B 停留 1 小
时.快车行驶 7 小时,共行驶 3×7=21〔单位〕.从 B 到 C 再往前一个单位到 D 点.离 A 点
15-1=14〔单位〕.
现在慢车从 A,快车从 D,同时出发共同行走 14 单位,相遇所需时间是
14÷〔2+3〕=2.8〔小时〕.
慢车从 C 到 A 返回行驶至与快车相遇共用了
7.5+0.5+2.8=10.8〔小时〕.
答:从第一相遇到再相遇共需 10 小时 48 分。
例 2、小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米,小轿车和面包车同时从学校开出,
沿着同一路线行驶,小轿车比面包车早 10 分钟到达城门,当面包车到达城门时,小轿车已
离城门 9 千米,问学校到城门的距离是多少千米?
【解答】先计算,从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间.
此时,小轿车比面包车多走了 9 千米,而小轿车与面包车的速度差是 6 千米/小时,因此
所用时间=9÷6=1.5〔小时〕.
小轿车比面包车早 10 分钟到达城门,面包车到达时,小轿车离城门 9 千米,说明小轿车的
速度是
面包车速度是 54-6=48〔千米/小时〕.
城门离学校的距离是
48×1.5=72〔千米〕.
答:学校到城门的距离是 72 千米.
简单相遇的要点与解题技巧
一、 简单相遇问题的特点:
〔1〕两个运动物体一般同时不同地〔或不同时不同地〕出发作相向运动.
〔2〕在一定时间内,两个运动物体相遇。
〔3〕相遇问题的解题要点:相遇所需时间=总路程÷速度和。
解答相遇问题必须紧紧抓住"速度和"这个关键条件.主要数量关系是:
二:简单相遇问题与追与问题的共同点:
〔1〕是否同时出发
〔2〕是否同地出发
〔3〕方向:同向、背向、相向
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〔4〕方法:画图
三、简单相遇在解题时的入手点与需要注意的地方
相遇问题与速度和、路程和有关
〔1〕是否同时出发
〔2〕是否有返回条件
〔3〕是否和中点有关:判断相遇点位置
〔4〕是否是屡次返回:按倍数关系走。
〔5〕一般条件下,入手点从"和"入手,但当条件与"差"有关时,就从差入手,
再分析出时间,由此再得所需结果
例 1.两列对开的列车相遇,第一列车的车速为 10 米/秒,第二列车的车速为/秒,第
二列车的旅客发现第一列车在旁边开过时用了 6 秒,如此第一列车的长度为多少米?
A.60 米 C.80 米 D.135 米
【解答】D。解析:这里 A,B 两地的距离就为第一列车的长度,那么第一列车的
长度为〔10+12.5〕×6=135 米。
例 2.甲、乙二人同时从相距 60 千米的两地同时相向而行,6 小时相遇。如果二人每小
时各多行 1 千米,那么他们相遇的地点距前次相遇点 1 千米。又知甲的速度比乙的速
度快,乙原来的速度为〔 〕
A.3 千米/时 B.4 千米/时
D.6 千米/时
【解答】B。解析:原来两人速度和为 60÷6=10 千米/时,现在两人相遇时间为 60÷
〔10+2〕=5 小时,设原来乙的速度为 X 千米/时且乙的速度较慢,如此 5〔X+1〕
=6X+1,解得 X=4。注意:在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快。
例 3.每天早上李刚定时离家上班,X 大爷定时出家门散步,他们每天都相向而行且准
时在途中相遇。有一天李刚因有事提早离家出门,所以他比平时早 7 分钟与 X 大爷相
遇。李刚每分钟行 70 米,X 大爷每分钟行 40 米,那么这一天李刚比平时早出门
〔 〕分钟。 D.11
【答案】D。解析:设每天李刚走 X 分钟,X 大爷走 Y 分钟相遇,李刚今天提前 Z 分
钟离家出门,可列方程为 70X+40Y=70×〔X+Z-7〕+40×〔Y-7〕,解得 Z=11,
故应选择 D。抓住了,两地距离不变,列方程。
例 1.甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行,在距 B 地 54 千米处相遇他们各自到
达对方车站后立即返回原地,途中有在距 A 地 42 千米处相遇。求两次相遇地点的距离。
【解答】设两次相遇地点的距离为 x 千米
根据他们相遇时用的时间是相等的
在距 B 地 54 千米处相遇时有:
〔42+x〕/V 甲=54/V 乙
在距 A 地 42 千米处相遇时有:
〔54*2+x〕/V 甲=〔x+42*2〕/V 乙
如此〔42+x〕/54=〔108+x〕/〔x+84〕
x2+72x-2304=0
〔x-24〕〔x+96〕=0
解得 x=24,x=-96〔舍去〕
所以两次相遇地点的距离为 24 千米。
例 2.在一次野外长跑比赛中,A、B 两人同时从起点开始跑,A 的速度为每秒 3 米,B
的速度为每秒 2 米。途中,一辆汽车以每秒 10 米的速度迎面开来,在与 A 相遇 2 分
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钟后,又遇 B 擦肩而过。问:当汽车与 A 擦肩而过时,A、B 二人相距多远?当汽车
与 B 擦肩而过时,A、B 二人相距多远?
【解答】
当汽车与 A 擦肩而过、与 B 相向而行时,这道题可改编为:
汽车与 B 相向而行,汽车每秒前进 10 米,B 每秒前进 2 米,二者 2 分钟相遇,问两
地相距多远?
非常容易的一道题,先将 2 分钟换算成 120 秒,然后按照公式
速度和×时间=距离
的方法,得到:﹙10+2﹚×120=1440 米。
即:当汽车与 A 擦肩而过时 A、B 二人相距 1440 米
我们把第二问也简化以下。
A、B 二人赛跑,A 在 B 前面 1440 米的地方,二人同向而行,又知 A 的速度是每秒 3
米,B 的速度是每秒 2 米,跑了 2 分钟时﹙就是汽车从相遇 A 到相遇 B 的时间﹚,两
人相距多远?
我们开始跑时﹙即汽车与 A 相遇时﹚,两人本来就相距 1440 米,二人速度差为每秒 1
米﹙3-2﹚。汽车走了 120 秒,两人的距离就增加了 120 米﹙1×120﹚。那么,2
分钟时,两人距离应为 1560 米﹙120+1440﹚。
即:当汽车与 B 擦肩而过时,A、B 二人相距 1560 米。
多人行程的要点与解题技巧
行程问题是小学奥数中难度系数比拟高的一个模块,在小升初考试和各大奥数杯赛中都
能见到行程问题的身影。行程问题中包括:火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环
形行程、多人行程等等。每一类问题都有自己的特点,解决方法也有所不同,但是,行程问
题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系〞:
这三个量是:路程(s)、速度(v)、时间(t)
三个关系:1.简单行程:路程=速度×时间
2.相遇问题:路程和=速度和×时间
3.追击问题:路程差=速度差×时间
牢牢把握住这三个量以与它们之间的三种关系,就会发现解决行程问题还是有很多方法可循
的。
如“多人行程问题〞,实际最常见的是“三人行程〞
例:有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、
丙相背而行。甲每分钟走 40 米,乙每分钟走 38 米,丙每分钟走 36 米。在途中,甲和乙
相遇后 3 分钟和丙相遇。问:这个花圃的周长是多少米?
分析:这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成,题目中所给的条件只有三个人的速
度,以与一个“3 分钟〞的时间。
第一个相遇:在 3 分钟的时间里,甲、丙的路程和为〔40+36〕×3=228〔米〕
第一个追击:这 228 米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里,乙、丙两人的速度差造成的,
是逆向的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为 228÷〔38-36〕=114〔分钟〕
第二个相遇:在 114 分钟里,甲、乙二人一起走完了全程
所以花圃周长为〔40+38〕×114=8892〔米〕
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题,使解题思路更加清晰。
总之,行程问题是重点,也是难点,更是锻炼思维的好工具。只要理解好“三个量〞之间的
“三个关系〞,解决行程问题并非难事!
多人行程例题与答案〔一〕
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行程问题是小学奥数中难度系数比拟高的一个模块,在小升初考试和各大奥数杯赛中都
能见到行程问题的身影。多人行程---这类问题主要涉与的人数为 3 人,主要考察的问题就
是求前两个人相遇或追与的时刻,第三个人的位置,解题的思路就是把三人问题转化为寻找
两两人之间的关系。
例 1.甲乙丙三人同时从东村去西村,甲骑自行车每小时比乙快 12 公里,比丙快 15 公
里,甲行 3.5 小时到达西村后立刻返回。在距西村 30 公里处和乙相聚,问:丙行了多长时
间和甲相遇?
答案一:
设乙每小时行 x 公里,如此甲为 x+12,丙为 x-15+12=x-3
3.5*12=(x+12)*2
x=9 甲为 21 公里,丙为 6 公里,
21*3.5*2/(21+6〕=5.44 小时
丙行了 5.44 小时和甲相遇
答案二:
在距西村 30 公里处和乙相聚,如此甲比乙多走 60 公里,
而甲骑自行车每小时比乙快 12 公里,
所以,甲乙相聚时所用时间是 60/12=5 小时,
所以甲从西村到和乙相聚用了 5-3.5=1.5 小时,
所以,甲速是:30/1.5=20 公里/小时,
所以,丙速是:20-15=5 公里/小时,
东村到西村的距离是:20*3.5=70 公里
例 2.难度:高难度
甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去,甲、乙两车的速度分别为 60 千米/时和
48 千米/时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 时、7 时、8 时先后与甲、乙、
丙三辆车相遇。求丙车的速度。
【解答】
解题思路:〔多人相遇问题要转化成两两之间的问题,咱们的相遇和追击公式也是研究的两
者。另外 ST 图也是很关键〕
第一步:当甲经过 6 小时与卡车相遇时,乙也走了 6 小时,甲比乙多走了 660-486=72 千
米;〔这也是现在乙车与卡车的距离〕
第二步:接上一步,乙与卡车接着走 1 小时相遇,所以卡车的速度为 72-481=24
第三步:综上整体看问题可以求出全程为:〔60+24〕6=504 或〔48+24〕7=504
第四步:收官之战:5048-24=39〔千米〕
须知事项:画图时,要标上时间,并且多人要同时标,以防思路错乱!
例 3.难度:高难度
李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到外的冬令营报到。0.5 小时后,营地教师闻讯
前来迎接,每小时比李华多走,又经过了 1.5 小时,X 明从学校骑车去营地报到。结果 3
人同时在途中某地相遇。问:X 明每小时行驶多少千米?
【解答】
×0.5=÷〔4+4+1.2〕=2 小时相遇,相遇地点距学校 2×4+2=10 千米,X 明行驶的时间
为 0.5 小时,因此 X 明的速度为 10÷0.5=20 千米/时。
多人行程例题与答案〔二〕
例 1. AB 两地相距 30 千米,甲乙丙三人同时从 A 到 B,而且要求同时到达。现在有
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