### 数字信号处理：计算机为基础的方法（第三版）第12章知识点解析
#### 12.1 二进制补码截断误差分析
在本节中，我们讨论了二进制补码截断所带来的相对误差分析。这部分内容非常重要，因为它涉及到数值计算中的精度损失问题，这对于任何涉及数字信号处理的工程应用都是一个关键因素。
**二进制补码截断**是指在计算机内部处理数字时，将二进制数进行截断以适应固定的位数表示。这种截断会导致原始数值与截断后数值之间的误差，这种误差被称为截断误差。具体来说，在二进制补码表示下，当一个数被截短时，其误差可以通过以下公式计算：
\[
e_t = \left| x - x_Q \right|
\]
其中，\(x\) 是原始值，\(x_Q\) 是经过量化后的值。根据题目中给出的信息，我们可以看到作者Sanjit K. Mitra通过分析两种情况下的截断误差来进行详细解释：
1. 当 \(x > 0\) 时，误差 \(e_t\) 可以表示为：
\[
e_t = \frac{1}{2^{M+1}} \sum_{i=1}^{M} \beta_i a_i - \sum_{i=1}^{M} b_i
\]
这里，\(M\) 表示位数，\(\beta_i\) 和 \(a_i\) 分别是二进制表示中的符号位和系数，而 \(b_i\) 是截断后的系数。通过调整这些变量，可以得到误差的最大值和最小值。
2. 当 \(x < 0\) 时，误差 \(e_t\) 的表达式有所不同：
\[
e_t = \frac{1}{2^{M-1}} \sum_{i=1}^{M} a_i - \sum_{i=1}^{M} b_i
\]
该表达式的计算方法与 \(x > 0\) 时类似，但考虑到负数的二进制补码表示方式的不同。
对于任意 \(x > 0\) 或 \(x < 0\) 的情况，误差 \(e_t\) 的绝对值范围都可以用以下不等式来表示：
\[
0 \leq e_t \leq \delta
\]
其中，\(\delta\) 代表误差的最大可能值。例如，对于 \(x > 0\) 的情况，如果 \(M\) 的取值范围是 \(0.5 \leq M \leq 1\)，则误差 \(e_t\) 的最大值 \(\delta\) 可以表示为：
\[
0 \leq e_t \leq 0.25
\]
而对于 \(x < 0\) 的情况，若 \(M\) 的取值范围是 \(-0.5 \leq M \leq 1\)，则误差 \(e_t\) 的最大值 \(\delta\) 为：
\[
0 \leq e_t \leq 0.25
\]
#### 12.2 一进制补码截断误差分析
一进制补码截断误差分析与二进制补码截断类似，但在细节上有所区别。一进制补码截断误差的计算方式同样分为正数和负数两种情况。以 \(x > 0\) 为例，误差 \(e_t\) 可以表示为：
\[
e_t = \frac{1}{2^M} \sum_{i=1}^{M} a_i - \sum_{i=1}^{M} b_i
\]
对于 \(x < 0\) 的情况，误差 \(e_t\) 的表达式为：
\[
e_t = \frac{1}{2^M} \sum_{i=1}^{M} a_i - \sum_{i=1}^{M} b_i
\]
这里的误差范围与二进制补码截断的情况类似，但对于负数，误差的计算会更加复杂。
#### 12.3 四舍五入误差分析
四舍五入是一种常见的数值处理方法，用于减少数值表示中的误差。当进行四舍五入时，误差 \(\epsilon\) 可以表示为：
\[
\epsilon = \left| x - x_Q \right|
\]
其中，\(x_Q\) 是经过四舍五入后的值。误差 \(\epsilon\) 的范围可以通过以下不等式来表示：
\[
\frac{1}{2^{M+1}} \leq \epsilon \leq \frac{1}{2^{M-1}}
\]
这里，\(M\) 表示位数。由于四舍五入方法的特点，误差的范围通常比简单的截断要小。
#### 12.4 分母的极点敏感性分析
本节讨论了分母的极点敏感性分析。极点敏感性是指系统参数的小变化对系统性能的影响程度。对于分母函数 \(D(z) = z - \alpha\)，极点位于 \(z = \alpha\) 处。在这个例子中，极点的敏感性可以通过对 \(\alpha\) 的微分来分析，得到极点关于 \(\alpha\) 的敏感性成分。具体来说，极点的敏感性可以表示为：
\[
\frac{\partial r}{\partial \alpha} = 1, \quad \frac{\partial \theta}{\partial \alpha} = 0
\]
这里，\(r\) 和 \(\theta\) 分别是极点的幅度和相位角。通过对这些参数的变化进行分析，可以评估系统性能对参数变化的敏感度。
以上内容概述了《数字信号处理：计算机为基础的方法》（第三版）第12章的主要知识点。这些内容对于理解和解决数字信号处理中的数值精度问题至关重要。
