根据提供的信息，我们可以深入探讨《数字信号处理：基于计算机的方法》第三版中第四章的一些核心概念。本章涉及的关键知识点包括连续时间函数的周期扩展、傅里叶变换、频域卷积以及采样理论。
### 关键知识点
#### 1. 周期函数与傅里叶变换
在这一部分，作者讨论了如何通过周期性地扩展一个连续时间函数来形成一个新的周期性函数。给定一个任意的连续时间函数 \(\phi(t)\)，其连续时间傅里叶变换为 \(\Phi(j\Omega)\)。接着定义了一个周期性的连续时间函数 \(\tilde{\phi}(t)\)，它是由 \(\phi(t)\) 的周期性扩展得到的，周期为 \(T\)。该周期性函数可以表示为一系列延时的 \(\phi(t)\) 形成的卷积与周期冲激串的乘积形式：
\[
\tilde{\phi}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \phi(t - nT) = \phi(t) * p(t)
\]
其中 \(p(t)\) 表示周期冲激串，定义为：
\[
p(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT)
\]
\(\tilde{\phi}(t)\) 的连续时间傅里叶变换 \(\Phi_T(j\Omega)\) 可以通过 \(\phi(t)\) 的傅里叶变换和周期冲激串的傅里叶变换进行计算，结果为：
\[
\Phi_T(j\Omega) = \Phi(j\Omega) \cdot \left( \frac{2\pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left(\Omega - \frac{2\pi n}{T}\right) \right)
\]
这里 \(\frac{2\pi}{T}\) 是周期冲激串的傅里叶变换系数。
#### 2. 傅里叶级数展开
接下来，作者进一步介绍了周期函数 \(\tilde{\phi}(t)\) 的傅里叶级数展开形式，并将其与 \(\phi(t)\) 的傅里叶变换进行了比较。具体来说，\(\tilde{\phi}(t)\) 的傅里叶级数展开式为：
\[
\tilde{\phi}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{j\frac{2\pi n}{T} t}
\]
其中系数 \(a_n\) 可以通过以下公式计算得出：
\[
a_n = \frac{1}{T} \Phi\left(j\frac{2\pi n}{T}\right)
\]
将这个表达式代入傅里叶级数展开式中，可以得到著名的泊松求和公式：
\[
\tilde{\phi}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \Phi\left(j\frac{2\pi n}{T}\right) e^{j\frac{2\pi n}{T} t}
\]
#### 3. 采样理论与Nyquist频率
本节重点讨论了采样理论中的Nyquist频率。首先考虑一个带限的连续时间信号 \(g_a(t) = \sin(m\Omega t)\)，其带限为 \(m\Omega\)。若按照采样率 \(mT\) 进行采样，其中 \(mT = \frac{1}{m\Omega}\)，从 \(t=0\) 开始采样，则所有样本值均为零。因此，原信号无法从这些样本中完全恢复。为了完全恢复原信号，必须以高于Nyquist频率（即两倍于信号最高频率）的采样率进行采样。例如，对于信号 \(g_a(t) = \sin(m\Omega t)\)，采样率应满足：
\[
mT > \frac{1}{2m\Omega}
\]
#### 4. 频域卷积
作者探讨了两个连续时间信号的频域卷积及其对Nyquist频率的影响。例如，给定信号 \(y_1(t)\) 和 \(y_2(t)\)，它们的频域卷积可以通过以下公式计算：
\[
Y_a(j\Omega) = G_a(j\Omega) * G_a(j\Omega)
\]
其中，\(G_a(j\Omega)\) 是 \(g_a(t)\) 的傅里叶变换。如果最高频率是 \(m\Omega\)，则 \(y_1(t)\) 的Nyquist频率为 \(2m\Omega\)。类似地，对于 \(y_2(t)\)，如果最高频率是 \(m\Omega/3\)，则Nyquist频率为 \(2m\Omega/3\)。
本章主要讨论了周期函数的傅里叶变换、傅里叶级数展开以及采样理论中的关键概念。通过对这些概念的理解，读者可以更好地掌握数字信号处理的基本原理和技术。
