高中数学联合竞赛一试试题及答案(A卷) 试题.doc

【知识点详解】 1. 函数最值：在高中数学中，寻找函数的最值是常见的问题。例如题目中提到的函数在某个区间上的最小值，可以通过导数法找到。当导数等于零时，可能存在极值点，进一步分析这些点是否为最小值。 2. 实数范围：解这类问题通常涉及二次方程的判别式和不等式的求解。题目中要求实数的取值范围，需要解不等式并结合条件确定合适的范围。 3. 概率问题：甲乙比赛的例子展示了概率论中的独立事件和条件概率。期望值的概念也被应用在计算比赛局数的平均值上，通过不同情况的加权平均来得出期望值。 4. 正方体表面积与体积：这涉及到几何体的基本性质，通过求解方程组找出正方体的棱长，进而计算出表面积和体积。题目中要求棱长为整数，增加了问题的难度。 5. 方程组的解：解线性方程组，可以使用代入法或消元法。题目中通过分析不同情况，找到了有理数解的个数。 6. 三角形内角与边的关系：三角形内角对应的边成等比数列，要求解角度的取值范围，需要用到三角形的性质和不等式，如三角形两边之和大于第三边，以及内角和为180度。 7. 复数的乘积：复数的乘法运算涉及到共轭复数和模长的概念，求解复数乘积的结果，需要掌握复数的运算规则。 8. 函数的最小值：对于含参数的函数，求其最小值可能需要用到分类讨论的方法，同时要注意定义域的限制。 9. 排列组合问题：分配志愿者名额的问题实际上是一个组合问题，可以用插板法或排列组合公式来解决。题目中既要求每校至少有一个名额，又要求名额互不相同，需要考虑到所有可能的分配方案。 10. 不定方程：在分配问题中，不定方程的解通常与组合数有关，可以使用组合公式或者排列组合的思想求解。 这些题目覆盖了高中数学竞赛中常见的知识点，包括函数最值、实数范围、概率与期望、几何体性质、方程组解法、三角形性质、复数运算、函数最值问题、排列组合等。这些问题的解答需要扎实的数学基础和灵活的解题技巧。