### 北师大版九年级数学上册第二章2.3 用公式法求解一元二次方程
#### 知识点解析
##### 一、基础知识
**一元二次方程**通常形式为\(ax^2 + bx + c = 0\)（其中\(a \neq 0\)），它可以通过多种方法求解，包括配方法、分解因式法以及公式法。本章节主要介绍通过公式法来求解一元二次方程。
**求根公式**：对于一般形式的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)，其根可通过以下公式计算得出：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
其中，\(\Delta = b^2 - 4ac\)称为判别式，决定了方程的根的性质：
- 当\(\Delta > 0\)时，方程有两个不相等的实数根。
- 当\(\Delta = 0\)时，方程有两个相等的实数根（即一个实数根）。
- 当\(\Delta < 0\)时，方程没有实数根（有两个复数根）。
#### 题目解析
**选择题**
1. **题目分析**：根据题目给出的信息，可以得知方程的形式为\(5x^2 + bx + c = 0\)，需要确定\(b\)和\(c\)的值。选项中的“”符号可能表示未知数，结合上下文推测应为数字。根据求根公式的定义，我们可以推断出正确的答案为C，即\(b = -6\)，\(c = -\)。
2. **题目分析**：给定方程为\(4x^2 - 12x = 3\)，即\(4x^2 - 12x - 3 = 0\)。应用求根公式，先计算判别式\(\Delta = (-12)^2 - 4*4*(-3) = 144 + 48 = 192\)。因此，根为：
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{192}}{8} = \frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2} \]
所以正确答案为D。
3. **题目分析**：根据判别式判断方程是否有实数根。对于方程①\(x^2 + 3x + 7 = 0\)，\(\Delta = 3^2 - 4*1*7 = 9 - 28 = -19\)，没有实数根；方程②\(x^2 + 4 = 0\)，\(\Delta = 0^2 - 4*1*4 = -16\)，同样没有实数根；方程③\(x^2 + x - 1 = 0\)，\(\Delta = 1^2 - 4*1*(-1) = 1 + 4 = 5\)，有实数根。因此正确答案为B。
4. **题目分析**：已知方程为\(x^2 + (a + b)x + ab = 0\)的两个根相等，即判别式\(\Delta = 0\)。根据题意，设方程的两个根分别为\(c\)和\(c\)，则\(c + c = -(a + b)\)，\(c * c = ab\)。由此可知，\(a = b\)，故△ABC为等腰三角形。但是，由于题目中没有给出具体的边长关系，只能推断出\(a = b\)，因此最合适的答案是A（等腰三角形）。
5. **题目分析**：设该边的长度为\(x\)，则高为\(\frac{x}{2}\)。根据面积公式\(S = \frac{1}{2}bh = 32\)，可得\(\frac{1}{2} * x * \frac{x}{2} = 32\)，即\(x^2 = 128\)，解得\(x = 8\)或\(x = -8\)（负值舍去）。因此正确答案为A。
6. **题目分析**：设方程为\(ax^2 + bx + c = 0\)，如果\(x = m\)是该方程的一个根，则有\(am^2 + bm + c = 0\)。题目中提到\(x = m\)是方程的根，且\(m \neq 0\)，因此可以将原方程转化为\(a + b * \frac{1}{m} + c * \left(\frac{1}{m}\right)^2 = 0\)，整理得\(c * m^2 + b * m + a = 0\)。对比原方程，可以得出\(a = c\)。因此，正确答案为C。
7. **题目分析**：给定条件为\(x^2 + 3x + 7 = 0\)时，令\(x = m\)是方程的一个根，则有\(m^2 + 3m + 7 = 0\)。题目要求的是\(x = -m\)时的情况，即\((-m)^2 + 3(-m) + 7 = m^2 - 3m + 7\)。由于\(m\)是原方程的一个根，因此\(m^2 - 3m + 7 = 0\)，故正确答案为C。
8. **题目分析**：设第一块木板的长为\(l\)，宽为\(w\)，则第二块木板的长为\(3w\)，宽为\(l - 2\)。根据题目条件，可以建立方程组\(lw = S_1\)，\(3w(l - 2) = S_2\)，\(S_2 = S_1 + 108\)。通过解方程组，可以找出符合条件的答案。经过计算，选项A满足所有条件，即第一块木板长18米，宽9米，第二块木板长27米，宽16米。因此正确答案为A。
#### 结论
本章节重点在于掌握一元二次方程的求解方法，特别是公式法的应用。通过理解判别式的概念和作用，能够有效地判断方程根的存在性及其性质，进而解决实际问题。在解答过程中，需要灵活运用已学知识，结合题目特点进行分析和推理。
