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第五章不定积分
习题 5-1
1. 1.验证在 <- ∞ ,+ ∞ >内,
2 2
1
sin , cos2 , cos
2
x x x
都是同一函
数的原函数 .
解
2 2
1
(sin )' ( cos2 )' ( cos )' sin 2
2
x x x x因为
2. 2.验证在 <- ∞ ,+ ∞ >内,
2 2 2 2
( ) ,( ) 2( )
x x x x x x
e e e e e e都是
的原函数 .
解
2 2 2 2
[( ) ]' [( ) ]'=2( )
x x x x x x
e e e e e e因为
3.已知一个函数的导数是
2
1
1
x
,并且当 x = 1 时, 该函数值是
3
2
,求这个函数 .
解设所求函数为 f<x>, 则由题意知
2
1
'( )
1
f x
x
又当 x = 1 时,
3
(1)
2
f
,代入上式 , 得 C =
故满足条件的函数为
( )f x
=
arcsin x
.
3. 3.设曲线通过点 <1, 2> , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐
标的两倍 ,求此曲线的方程 .
解设曲线方程为
( )y f x
, 则由题意知
' '
( ) 2y f x x
因为
2
( ) ' 2x x
所以
2
'( )d 2 dy f x x x x x C
又因为曲线过点 <1, 2>, 代入上式 , 得 C = 1
故所求曲线方程为
2
1y x
.
5. 求函数 y = cosx 的分别通过点 < 0, 1> 与点 <π, - 1>的积分曲线的方程 .
解设 y = cos x 积分曲线方程为
( )y f x
因为
'
(sin ) cosx x
所以
( ) cos d sinf x x x x C
又因为积分曲线分别通过点 < 0, 1> 与点 <π , - 1>,代入上式 , 得 C
1
= 1 与 C
2
= - 1. 故满
足条件的积分曲线分别为
( ) sin 1f x x
与
( ) sin 1f x x
.
6. 已知 f<x> = k tan2x 的一个原函数是
2
ln cos2
3
x
,求常数 k.
解因为
2
ln cos2
3
x
是 f<x>的一个原函数
所以
'
2 2 1 4
( ln cos2 ) ( 2sin 2 ) tan2 ( )
3 3 cos2 3
x x x f x
x
7. 已知
1
( 1)d
x
f x x xe C
, 求函数 f<x>.