运筹学是一门应用广泛的数学学科,主要研究如何优化决策过程中的资源配置和策略选择。这份2015学年期末考试题A卷涵盖了运筹学的基础知识,包括线性规划、对偶问题、运输问题、动态规划以及图论等多个方面。
1. **线性规划**:
线性规划是运筹学中最基础的模型,用于解决在满足一组线性约束条件下,最大化或最小化一个线性目标函数的问题。题目中的选项展示了线性规划的标准形式:目标函数与约束条件都是线性的。例如,模型A和B是线性规划模型,其中A是最大化问题,B是最小化问题。
2. **最优解**:
线性规划问题如果有最优解,最优解一定位于可行域的边界上,通常是顶点。因此,线性规划问题的最优解可能在可行域的一个或多个顶点处达到。如果在两个顶点处同时达到最优,意味着存在多个最优解。
3. **变量类型**:
- **自由变量**:没有非负约束的变量,可以在负半轴和正半轴上取值。
- **松弛变量**:为了使约束变成等于形式而引入的辅助变量,通常非负。
- **多余变量**:在简化问题时引入,但对解没有影响。
- **人工变量**:在对偶问题中处理松弛变量时引入,只在基中为零。
4. **对偶问题**:
对偶问题是原问题的镜像,它们之间存在密切关系。原问题和对偶问题的最优解目标值相同,但解的结构可能不同。原问题的变量在对偶问题中成为约束的常数,而原问题的约束在对偶问题中成为变量。
5. **运输问题**:
运输问题是一种特殊的线性规划问题,涉及m个供应点和n个需求点的货物运输,目标是找到最低成本的运输方案。运输问题有唯一的最优解,可以通过表上作业法(单纯形法的一种变体)来解决。检验数用于判断当前解是否最优,当所有检验数小于等于零时,解为最优。
6. **动态规划**:
动态规划用于解决多阶段决策问题,其中每个阶段的决策依赖于前一阶段的状态。状态的定义和决策的独立性至关重要。动态规划可以正推(自上而下)或逆推(自下而上)求解,但最优解是相同的。错误的命题指出逆推解法可能导致不同最优解,实际上这是不正确的。
7. **网络分析**:
网络问题包括最短路径问题和最短树问题,但它们不是同一个问题。在网络中,节点代表研究对象,边表示对象间的关系。流量增广链用于增加网络中的流量,饱和边是指在其上不能再增加流量的边。
考试题型还包括判断题、填空题和计算题,涉及线性规划的基本概念、解的性质、对偶理论、运输问题的解法、动态规划的步骤、网络问题的分类以及图论的基本概念,如树的定义等。通过这些题目,学生可以系统地复习和检验对运筹学核心概念的理解和应用能力。