在本文档中，我们可以看到关于随机过程及应用的相关知识点，具体包括布朗运动、Hilbert变换以及均值方差和自相关函数的计算与理解。
布朗运动是一种具有特定统计性质的随机过程，通常被用来描述在流体中，由大量分子随机碰撞产生的微粒的无规则运动。布朗运动的特点在于其具有连续的路径、无后效性、和具有增量的独立同分布性质。在文档中，布朗运动被设置为标准形式，这意味着其遵循特定的统计特性，如增量具有均值为0和恒定方差的高斯分布。在这种情况下，布朗运动可以使用维纳过程来建模。文档中提到的计算相关函数和功率谱密度，是研究布朗运动动态特性的重要手段，相关函数反映了布朗运动增量在不同时间点的依赖程度，而功率谱密度则揭示了布朗运动在频域中的能量分布。相关函数通常呈现出指数衰减特性，而功率谱密度则遵循一个特定的频率依赖关系，通常为1/f^2的规律。
文档中提到了Hilbert变换，这是一种数学变换，将信号或函数中的每一个正频率分量都乘以-1，从而实现了90度的相位移动。在信号处理中，Hilbert变换可以用于生成解析信号，这种信号对于进一步分析信号的包络、瞬时频率等特性非常有用。文档中的两个性质证明了Hilbert变换的特性：其一是对于带通信号的处理，能保证频谱搬移后不会出现混迭现象；其二是基带信号经过Hilbert变换后，频谱的中心频率会被搬移至原信号频率的两倍，这些性质对于设计滤波器和信号处理算法至关重要。从文档中的描述中我们可以看出，Hilbert变换在通信系统和信号处理领域有着广泛应用，如在调制解调、信号分析和谱估计中。
文档中还涉及到了均值、方差和自相关函数的概念。均值描述了随机变量的平均值，是刻画随机变量中心位置的量；方差则描述了随机变量取值的离散程度，是衡量随机变量波动大小的量；而自相关函数则描述了随机过程在不同时间点的相关程度。在实际应用中，这些统计特性可以帮助我们了解和预测随机过程的动态行为。例如，通过自相关函数可以评估信号的周期性或趋势性，而方差可以用来衡量信号的稳定性和可靠性。在文档中提到的特定情况下，通过求积分的方式，我们可以得到信号的均值和方差，进而评估信号在一定区间内的统计特性。
总结以上知识点，可以看出随机过程及应用的学习涉及多个层面，包括对布朗运动的理解、Hilbert变换的深入剖析以及对信号统计特性的评估。在学习和研究中，通过这些方法和理论可以对各种随机过程进行分析，进而应用于包括但不限于通信、信号处理、金融等领域。通过这些具体习题的解答，可以加深对随机过程特性的理解，从而在实际问题中能够有效地运用这些理论知识。
