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内容概要:本文主要探讨了带形域中存在多个椭圆孔洞时,水平剪切(SH)波的散射现象。通过对具体问题的分析,提出了数值模型来模拟这一物理过程,并进行了大量的计算实验。结果显示,在特定条件下,这些椭圆孔洞可以显著地改变SH波的行为,如散射强度和方向。同时,还讨论了不同参数设置(如孔洞大小、位置及其分布方式)对该物理行为的影响。 适合人群:物理学专业师生、材料科学工作者、声波与波动理论研究者等。 使用场景及目标:用于学术研究及工业应用中涉及的振动隔离、噪声控制以及地震波的研究等领域。 其他说明:本文采用了一些高级数学工具和方法,因此要求读者有一定的数学基础,特别是对于偏微分方程解法和线性代数的理解。此外,熟悉相关软件操作也是必要的条件之一。 -可实现的-有问题请联系博主,博主会第一时间回复!!!
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1
1
O
P
O
R
O
带形域中多个位置的椭圆形孔洞在 SH 波作用下的示意图如图 4.1 所示。对于带形
域问题,本文采用“镜像”方法处理,分别向上和向下镜像
n
次,建立原始带形域中的
椭圆孔的坐标系和镜像后的椭圆孔的坐标系。
2
P
O
P
�
P
X
P
Y
P
X
�
P
Y
�
R
O
R
X
�
R
Y
R
X
R
Y
�
R
�
R
�
1P
h
2P
h
1P
h
2P
h
1P
h
2P
h
1P
h
2P
h
1P
h
2P
h
1R
h
2R
h
2R
h
1R
h
1R
h
2R
h
1R
h
2R
h
2R
h
1R
h
UPj
Y
�
��
UPj
O
U Pj
Y
UPj
Y
�
UPj
Y
�
�
UPj
X
��
UPj
X
�
UPj
X
�
�
P
�
UPj
X
UPj
Y
��
UPj
X
�
��
UPt
Y
�
UPt
Y
UPt
Y
�
�
UPt
X
�
UPt
X
�
�
UPt
X
URt
Y
�
�
URt
Y
URt
Y
�
URt
X
�
URt
X
URt
X
�
�
URt
O
URj
Y
��
UPt
O
P
�
URj
Y
�
��
URj
O
URj
Y
�
URj
Y
�
�
URj
X
�
URj
X
��
URj
X
�
��
URj
X
�
�
URj
X
U Rj
Y
3
对带形域中所有的椭圆形孔洞进行编号
( )
1, , ,P VL L
,建立相应的局部坐标系并引
入 复 平 面 。 建 立 第
p
号 椭 圆 孔 的 局 部 坐 标 系
P P P
X O Y- -
和 水 平 方 向 上 的 坐 标 系
P P P
X O Y
¢ ¢ ¢
- -
,相应的复平面为
( )
,
P P
Z Z
和
( )
,
P P
Z Z
¢ ¢
,两坐标系相应的夹角为
P
b
,其中:
U
代表向上镜像,
P
代表第
P
号椭圆孔,
j
代表镜像奇数次,
D
代表向下镜像,
t
代表镜
像偶数次,得:
P
P
i
P P
i
P P
Z Z e
Z Z e
b
b
-
¢
¢
ì
=
í
=
î
(4.1)
对于第
P
号椭圆孔向上镜像
j
次后的椭圆孔,其中
j
为奇数且
( )
1n j> ³
,建立相应
的 局 部 坐 标 系
UPj UPj UPj
X O Y
¢ ¢ ¢
- -
和 水 平 坐 标 系
UPj UPj UPj
X O Y
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
- -
相 应 的 复 平 面 为
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢ ¢
和
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢ ¢
¢ ¢
,两坐标系相应的夹角为
UPj
b
¢
,其中
UPj P
b b
¢
=
,得:
P
P
i
UPj UPj
i
UPj UPj
Z Z e
Z Z e
b
b
¢
-
¢
¢ ¢
ì
=
ï
í
¢ ¢
=
ï
î
(4.2)
将坐标系
UPj UPj UPj
X O Y
¢ ¢ ¢
- -
沿
UPj
X
¢
对称 ,得 到
UPj UPj UPj
X O Y
¢¢ ¢¢ ¢¢
- -
,相 应的 复平 面为
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢¢ ¢¢
,复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢¢ ¢¢
与复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢ ¢
之间的关系为:
UPj UPj
UPj UPj
Z Z
Z Z
¢ ¢¢
ì
=
ï
í
¢ ¢¢
=
ï
î
(4.3)
将坐标系
UPj UPj UPj
X O Y
¢¢ ¢¢ ¢¢
- -
逆时针旋转
P
b
角度,得到坐标系
UPj UPj UPj
X O Y- -
,相应的
复平面为
( )
,
UPj UPj
Z Z
,复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢¢ ¢¢
与复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
之间的关系为:
P
P
i
UPj UPj
i
UPj UPj
Z Z e
Z Z e
b
b
-
¢¢
ì
=
ï
í
¢¢
=
ï
î
(4.4)
将 坐 标 系
UPj UPj UPj
X O Y- -
平 移 变 换 至 坐 标 系
P P P
X O Y
¢ ¢ ¢
- -
, 相 应 的 复 平 面 为
( )
,
P P
Z Z
¢ ¢
,复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
与复平面
( )
,
P P
Z Z
¢ ¢
之间的关系为:
1 2
1 1 2
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
UPj P P P
P UP P P
Z Z i j h i j h
Z Z i j h i j h
¢
¢
= - + - -
ì
í
= + + + -
î
(4.5)
4
根据公式(4.3)、公式(4.4)和公式(4.5)的得,复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢ ¢
和复平面
( )
,
P P
Z Z
¢ ¢
之间
的关系为:
[ ]
1 2
( 1) ( 1)
P
i
i
UPj P P P
Z Z e i j h i j h e
b
b
-
-
¢
¢
= + + + -
(4.6)
根据公式(4.1),公式(4.5)可以表示为:
1 2
1 2
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
P
P
i
UPj P P P
i
P UPj P P
Z Z e i j h i j h
Z Z i j h i j h e
b
b
-
ì
= - + - -
ï
í
é ù
= + + + -
ï
ë û
î
(4.7)
公式(4.7)表示复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
与复平面
( )
,
P P
Z Z
之间的关系。
根据公式(4.3)、公式(4.4)和公式(4.7),复平面
( )
,
P P
Z Z
和复平面
( )
,
UPj UPj
Z Z
¢ ¢
之间的关
系为:
[ ]
2
1 2
( 1) ( 1)
P P
i i
UPj P P P
Z Z e i j h i j h e
b b
- -
¢
= + + + -
(4.8)
同理,对于第
p
号椭圆孔向上镜像
t
次后的椭圆孔,其中
t
为偶数且
( )
2n t> ³
,建
立相应的局部坐标系
UPt UPt UPt
X O Y
¢ ¢ ¢
- -
和水平坐标系
UPt UPt UPt
X O Y
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
- -
相应的复平面为
( )
,
UPt UPt
Z Z
¢ ¢
和
( )
,
UPt UPt
Z Z
¢ ¢
¢ ¢
,两坐标系相应的夹角为
UPt
b
¢
,其中
UPt P
b b
¢
=
,得:
p
p
i
UPt UPt
i
UPt UPt
Z Z e
Z Z e
b
b
-
¢
¢
ì
¢ ¢
=
ï
í
¢ ¢
=
ï
î
(4.9)
将坐标系
UPt UPt UPt
X O Y
¢ ¢ ¢
- -
顺时针旋转
P
b
角度得到坐标系
UPt UPt UPt
X O Y- -
,相对应的
复平面为
( )
,
UPt UPt
Z Z
,此时,坐标系
UPt UPt UPt
X O Y- -
与坐标系
UPt UPt UPt
X O Y
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
- -
重合,复
平面
( )
,
UPt UPt
Z Z
与复平面
( )
,
UPt UPt
Z Z
¢ ¢
之间的关系为:
p
p
i
UPt UPt
i
UPt UPt
Z Z e
Z Z e
b
b
-
ì
¢
=
ï
í
¢
=
ï
î
(4.10)
将坐标系
UPt UPt UPt
X O Y- -
平移变换到坐标系
P P P
X O Y
¢ ¢ ¢
- -
,此时复平面
( )
,
UPt UPt
Z Z
与复
平面
( )
,
P P
Z Z
¢ ¢
之间的关系为:
1 2
1 2
( )
( )
UPt P P P
P UPt P P
Z Z it h h
Z Z it h h
¢
¢
= - +
ì
í
= + +
î
(4.11)
5
复平面
( , )
UPt UPt
Z Z
¢ ¢
¢ ¢
与复平面
( , )
P P
Z Z
¢ ¢
之间的关系为:
1 2
1 2
( )
( )
UPt P P P
P UPt P P
Z Z it h h
Z Z it h h
¢ ¢
¢ ¢
¢
= - +
ì
í
¢
= + +
î
(4.12)
根据公式(4.1),公式(4.11)可以表示为:
[ ]
1 2
1 2
( )
( )
P
P
i
UPt P P P
i
P UPt P P
Z Z e it h h
Z Z it h h e
b
b
-
ì
= - +
ï
í
= + +
ï
î
(4.13)
根据公式(4.10)和公式(4.13),复平面
( )
,
UPt UPt
Z Z
¢ ¢
与复平面
( )
,
P P
Z Z
之间的关系为:
1 2
( )
P
i
P UPt P P
Z Z ith ith e
b
-
¢
= + +
(4.14)
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