断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例如将样本染色后切成厚约1 的切片,在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片,可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象,运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线(称为中轴线)的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道,其中轴线为直线,由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp,宽、高均为512个象素(pixel)。为简化起见,假设:管道中轴线与每张切片有且只有一个交点;球半径固定;切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
取坐标系的Z轴垂直于切片,第1张切片为平面Z=0,第100张切片为平面Z=99。
试计算管道的中轴线与半径,给出具体的算法,并绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。
在数学建模中，血管切片的三维重建是一项复杂但重要的任务，它涉及到图像处理、几何建模和数值计算等多个领域。本问题的目标是通过分析一系列血管切片图像，重建血管的三维形态，包括确定中轴线方程和血管半径，并在XY、YZ、ZX平面上绘制中轴线的投影。
对于血管的几何特性，假设血管可被视为等径管道，其表面由一个固定半径的球沿着一条称为中轴线的曲线滚动包络形成。这种假设简化了问题，使得每张切片与中轴线只有一个交点。图像处理的第一步是读取100张512x512像素的血管切片图像，并将其转换为二值矩阵，以便更容易识别血管边缘。
接下来，通过边界检测和骨架提取，可以找出每张切片中血管的轮廓。然后，寻找每张切片上的最大内切圆，即圆心位于中轴线且半径等于管道半径的圆。这个过程可以通过寻找切片内部所有可能圆心的集合，并选择具有最大半径的圆来实现。最大内切圆的圆心坐标对应于中轴线在该切片位置的点，而圆的半径则代表血管的半径。
为了确定中轴线方程，可以采用曲线拟合方法，如最小二乘法，将各切片的交点坐标作为数据点，通过多项式拟合找到最佳拟合曲线。通常，可以选择Z作为参数，利用MATLAB的`polyfit`函数进行拟合，以找到合适的拟合次数，使得拟合误差最小。分别进行X，Z和Y，Z的多项式拟合，得到中轴线的参数方程。
完成中轴线的求解后，可以在XY、YZ、ZX平面上绘制其投影图。这些投影图可以帮助直观理解血管在不同平面上的形状。
为了验证模型的准确性，可以计算重建后的血管切片与原始切片之间的重合度。通过比较新旧切片中相同点的数量，可以计算重合度百分比。高重合度表明模型的精确性。例如，如果最高重合度达到80.25%，则表明模型能够很好地再现原始血管的结构。
这个问题的核心步骤包括：图像预处理、特征提取、曲线拟合和模型验证。通过数学建模，我们可以从有限的二维切片中重构出血管的三维形态，这对医学研究和临床诊断具有重大意义。这种方法不仅适用于血管，还可以扩展到其他类型的组织和器官的三维重建，为生物医学提供有力的工具。
