3最值系列之瓜豆原理-豆瓜定理.pdf

【瓜豆原理】是解决几何中最值问题的一种方法，尤其在处理动点问题时非常有效。这个原理主要涉及两个动点P（主动点）和Q（从动点），以及一个定点A。在某些特定条件下，通过分析P和Q与A之间的几何关系，我们可以找出Q点的轨迹，并利用这个轨迹来解决最值问题。 1. **轨迹之圆篇** - **引例1**：当点P在圆O上运动，Q为AP的中点时，Q的轨迹是一个圆。圆心M是AO的中点，半径MQ是OP的一半。此时，由于AP和AQ总是共线，所以A、M、O三点共线，且AM是AO的一半。这表明Q的轨迹圆是P点轨迹圆的比例缩小版，圆心M和半径MQ与PQ的关系可以通过比例关系来确定。 2. **引例2**：如果AP和AQ垂直且长度相等，Q的轨迹也是一个圆。此时，圆心M满足AM与AO垂直且AM=AO。因此，Q的轨迹圆M与P的轨迹圆O重合，半径MQ等于PO。 3. **引例3**：在直角三角形APQ中，若AP=2AQ，当P在圆O上运动时，Q的轨迹仍然是一个圆。圆心M满足AM与AO的夹角等于∠PAQ，且AO:AM=2:1。这使得△APO与△AQM相似，半径MQ等于PO。 4. **模型总结**： - 主动点P和从动点Q与定点A的连线夹角是恒定的（例如∠PAQ）。 - 主动点P和从动点Q到定点A的距离之比也是恒定的（例如AP:AQ）。 5. **结论**： - ∠PAQ=∠OAM，即两圆心与定点连线的夹角相等。 - AP:AQ=AO:AM，即两圆半径之比等于两点到定点的距离之比。 6. **思考1和思考2**： - 在等边三角形和等腰直角三角形的构造中，Q点轨迹圆的圆心M和半径MQ可以通过AP与AQ的角度和长度关系来确定，这进一步强化了瓜豆原理的应用。 7. **练习解析**： - 点M是圆P上的动点，C是MB的中点，要找到AC的最小值。可以考虑C点的轨迹，因为C是MB的中点，所以C点轨迹是以BP的中点O为圆心，OC为半径的圆。这样，AC的最小值将发生在点C与点A、O共线时，即当点C位于AO的延长线上时，AC的长度就是最小的。 通过上述分析，我们可以看到瓜豆原理的核心在于理解和运用动点P和Q之间的几何关系，尤其是它们与定点A之间的位置和数量关系，来确定从动点Q的轨迹，并据此解决最值问题。这一原理在解决复杂几何问题时提供了有力的工具，能够帮助我们构建几何模型，从而找到解决问题的关键路径。