杨辉三角中的奇偶分布
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2009-05-05
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２００８
年第
３
期中学数学月刊
ｒ
ｉ
－ １
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
－ １
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
－ １
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
ｒ
ｉ
ｂ
ｉ
ｉ
ｉ－ １
ｉ－ １
ｉ－ １
２００７
年普通高等学校招生全国统一考
试湖南卷数学（ 理工农医类） 的第
１５
题是将
杨辉三角中的奇数换成
１
， 偶数换成
０
， 得到
如图
１
所示的三角数表
．
从上往下数， 第
１
次
全行的数都为
１
的是第
１
行， 第
２
次全行的
数都为
１
的是第
３
行， …， 第
ｎ
次全行的数都
为
１
的是第 行； 第
６１
行中
１
的个数
是
．
这道试题背景公平， 符合学生的认知水
平
．
通过阅读， 理解并运用所给的新知识作进
一步的运算、分析、推理就可解决， 同时很好
地考查了学生的类比猜想、推理论证能力及
通过独立学习获取新的数学知识的能力
．
另
一方面与新课程教材中的探究发现栏目中的
《“杨辉三角”中的秘密》密切相关
．
本文进一
步讨论杨辉三角中的奇偶分布， 并给出上题
的严格证明
．
本文所讨论的杨辉三角均指如
图
１
型杨辉三角， 同时为了行文的方便， 将各
问题写成命题形式
．
命题
１
杨辉三角中任何一行中
１
的个
数均为偶数个
．
证明 考察第
ｎ
行中的
１
的个数， 设
ｎ＝
ｋ－ １
ｉ＝０
!
２
，
０≤ｒ
０
＜ｒ
１
＜
…
＜ｒ
ｋ－１
，
ｋ∈Ｎ
＊
， 对于
ｉ＝０
，
１
，
２
，
…，
ｋ－ １
， 有
（
１＋ｘ
）
２
＝
（
１＋ｘ
）
２
$ %
２
＝
（
１＋２ｘ＋ｘ
２
）
２
＝
（
１＋
ｘ
２
）
２
＝
…
＝
（
１＋ｘ
２
）（
ｍｏｄ ２
） ，
那么（
１＋ｘ
）
ｎ
＝
（
１＋ｘ
）
ｋ－ １
ｉ＝０
&
２
＝
ｋ－ １
ｉ＝０
’
（
１＋ｘ
）
２
＝
ｋ－ １
ｉ＝０
’
（
１＋ｘ
２
）（
ｍｏｄ ２
）
．
这样将（
１＋ｘ
）
ｎ
的展开式中除去系数为偶
数的项后为
ｋ－ １
ｉ＝０
’
（
１＋ｘ
２
） ， 而
ｋ－ １
ｉ＝０
’
（
１＋ｘ
２
） 的展开
式恰有
２
ｋ
（
ｋ∈Ｎ
＊
） 项， 每一项的系数均为
１．
故杨辉三角中任何一行中
１
的个数均为
偶数个
．
命 题
２
若
ｎ
的 二 进 制 的 表 示 中 有
ｋ
（
ｋ∈Ｎ
＊
） 个
１
， 则杨辉三角中第
ｎ
行中
１
的个
数是
２
ｋ
个
．
证明 若
ｎ
的二进制的表示中有
ｋ
（
ｋ∈
Ｎ
＊
） 个
１
， 则可设
ｎ＝
ｋ－ １
ｉ＝０
&
２
，
０≤ｒ
０
＜ｒ
１
＜
…
＜ｒ
ｋ－１
，
ｋ∈Ｎ
＊
．
由命题
１
的证明可知， 第
ｎ
行中奇数的
个数为
２
ｋ
（
ｋ∈Ｎ
＊
） 项， 即此行中
１
的个数是
２
ｋ
个
．
命题
３
杨辉三角中第
２
ｎ
－ １
行中
１
的个
数是
２
ｎ
个
．
事实上，
２
ｎ
－ １
的二进制表示中有
ｎ
个
１
，
由命题
２
可知， 此行中
１
的个数是
２
ｎ
个
．
命题
４
杨辉三角中第
ｎ
次全行的数都
为
１
的是第
２
ｎ
－ １
行
．
证明 我们先给出如下
３
个引理：
引 理
１
设
ｎ＝
∞
ｉ＝０
&
ａ
ｉ
·
２
ｉ
，
ａ
ｉ
∈
０
，
) *
１
，
ｋ＝
∞
ｉ＝０
&
ｂ
ｉ
·
２
ｉ
，
ｂ
ｉ
∈
０
，
) *
１
， 则
Ｃ
ｎ
ｋ
与
∞
ｉ＝０
’
Ｃ
ａ
ｉ
同奇偶
．
（ 规定
Ｃ
１
０
＝０
，
Ｃ
０
０
＝１
）
证明 对于
ｉ＝０
，
１
，
２
， …
（
１＋ｘ
）
２
＝
（
１＋ｘ
）
$ %
２
２
＝
（
１＋２ｘ＋ｘ
２
）
２
＝
（
１＋ｘ
２
）
２
第
１
行
第
２
行
第
３
行
第
４
行
第
５
行
……
１ １ ０ ０ １ １
１ １０ ００
１ １ １ １
１ １０
１ １
…………………………
图
１
杨辉三角中的奇偶分布
沈虎跃 金国林 （ 浙江省镇海中学
３１５２００
）
２８
· ·
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