数列求和
一、直接求和法(或公式法)
掌握一些常见的数列的前 n 项和:
1 2 3 ……+n=
( 1)
2
n n
,1+3+5+……+(2n-1)=
2
n
2 2 2 2
1 2 3 ……+n=
( 1)(2 1)
6
n n n
,
3 3 3 3
1 2 3 ……+n=
2
( 1)
2
n n
等.
例 1 求
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 99 100
.
解:原式
2 2 2 2 2 2 2 2
(2 1 ) (4 3 ) (6 5 ) (100 99 ) 3 7 11 199
.
由等差数列求和公式,得原式
50 (3 199)
5050
2
.
变式练习:已知
3log
1
log
2
3
x
,求
............
32
n
xxxx
的前 n 项和.
解:1-
n
2
1
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前 n 项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项
相加有公因式可提取,以便化简后求和.
例 2 求
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 10
1 10 2 9 3 8 10 1
的和.
解:设
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 10
1 10 2 9 3 8 10 1
S
则
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
10 9 8 1
10 1 2 9 3 8 10 1
S
.
两式相加,得
2 1 1 1 10 5S S ,
.
三、裂项相消法
常见的拆项公式有:
1
( )n n k
1 1 1
( )
k n n k
,
1
n k n
1
( )n k n
k
,
1
(2 1)(2 1)n n
1 1 1
( )
2 2 1 2 1n n
,等 .