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极限计算方法总结
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一,极限是《高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多,非常灵活,给函授学员的学习带来较大困难,而极限学的好坏直接关系到
《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结,然后通过例题给出
求极限的各种方法,以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1.定义:(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述)。
说明:(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的
极 限 严 格 定 义 证 明 , 例 如 :
)0,(0lim
aba
an
b
n
为常数且
;
5)13(lim
2
x
x
;
时当不存在,
时当,
1||
1||0
lim
q
q
q
n
n
;等等
(2)在后面求极限时,(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需
再用极限严格定义证明。
2.极限运算法则
定理 1 已知
)(lim xf
,
)(lim xg
都存在,极限值分别为 A,B,则下面极限都存在,
且有 (1)
BAxgxf )]()(lim[
(2)
BAxgxf )()(lim
(3)
)0(,
)(
)(
lim 成立此时需 B
B
A
xg
xf
说明 :极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,
不能用。
3.两个重要极限
(1)
1
sin
lim
0
x
x
x
(2)
ex
x
x
1
0
)1(lim
;
e
x
x
x
)
1
1(l i m
说明 :不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介:靳一东,男,(1964—),副教授。
例如:
1
3
3sin
lim
0
x
x
x
,
ex
x
x
2
1
0
)21(lim
,
e
x
x
x
3
)
3
1(lim
;等等。
4.等价无穷小
定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0)。
定理 3 当
0x
时,下列函数都是无穷小(即极限是 0),且相互等价,即有: