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求数列极限的 24 种方法及例题分析.pdf
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2020-10-03
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在人生的旅程中,总是有一些事情是需要自己一个人面对的,就像考研一样,谁也没有办法帮忙。只能靠自己不断的努力,变得更加坚强,用最骄傲的姿势走过这段旅程。加油,爱你的人会在身后默默的为你祝福! 考研只是漫漫人生路中的一道坎,无论成功或是失败,现在都不能改变什么了。所以,不要因为担心考试成绩而给自己过多的压力。对于考研放平心态,尽力一搏就好。努力,我们会为你加油的。
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求数列极限的 24 种方法及例题分析
作者:羽
Email:1003051305@qq.com
微信公众号:分析学研究所
时间:June 27, 2020
We’re here to put a dent in the universe. — Steve Jobs
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目录
1 重要常数 1
1.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 常用不等式 2
2.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 数列极限定义 4
3.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Cauchy 收敛原理 9
4.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 夹逼定理 12
5.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6 Abel 变换 17
6.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 拉链定理 19
7.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 级数收敛的必要条件 20
8.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9 单调有界定理 21
9.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10 上下极限 26
10.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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目录
11 Toeplitz 定理 31
11.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
11.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
12 Wallis 公式 34
12.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
12.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
13 Stirling 公式 35
13.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
13.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
14 压缩映射原理 38
14.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
14.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
15 Stolz 定理 40
15.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
15.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
16 Heine 定理 44
16.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
16.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
17 无穷乘积 47
17.1 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
18 幂级数 48
18.1 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
19 微分中值定理 50
19.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
19.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
20 Taylor 公式 52
20.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
20.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
21 定积分定义 55
21.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
21.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B
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目录
22 积分第一中值定理 57
22.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
22.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
23 Euler-Maclaurin 求和公式 61
23.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
23.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
24 多重积分定义 62
24.1 知识讲解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
24.2 例题分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
C
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第 1 章 重要常数
1.1 知识讲解
命题 1.1. 自然对数
e D lim
n!1
1 C
1
n
n
命题 1.2. 欧拉常数
D lim
n!1
1 C
1
2
C
1
3
C C
1
n
ln n
命题 1.3. Basel 问题
1
X
nD1
1
n
2
D
2
6
命题 1.4. Catalan 常数
G D
1
X
nD0
.1/
n
.2n C 1/
2
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hopelucky
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