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特殊矩阵方阵乘积的行列式 本节介绍了特殊矩阵的定义和运算性质，包括对角矩阵、上三角形矩阵、下三角形矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的定义和性质。 对角矩阵 定义：如果 n 阶方阵 A=(aij)中的元素满足 aij=0，i≠j(i，j=1，2，… n)，则称 A 为对角矩阵。 运算性质： 1. 同阶对角矩阵的和以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵。 2. 对角矩阵 A 的转置 AT 仍是对角矩阵，且 AT=A。 3. 任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，且它们是可交换的。 4. 对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角线元素都不等于零。 上三角形矩阵和下三角形矩阵 定义：形如的 n 阶方阵，即主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵。形如的 n 阶方阵，即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵。 运算性质： 1. 若 A、B 是两个同阶的上(下)三角形矩阵，则 A+B、kA、AB 仍为上(下)三角形矩阵。 2. 上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元都不为零。 对称矩阵和反对称矩阵 定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 AT=A，则称 A 为对称矩阵。如果 n 阶矩阵 A 满足 AT=-A，则称 A 为反对称矩阵。 运算性质： 1. 如果 A、B 是同阶对称矩阵，则 A+B、kA 也是对称矩阵。 2. 可逆对称矩阵 A 的逆矩阵 A–1 仍是对称矩阵。 需要注意的是，两个对称矩阵乘积不一定是对称矩阵。 这些特殊矩阵在矩阵运算和线性代数中扮演着重要的角色，了解它们的定义和运算性质对进行矩阵运算和解决线性代数问题非常重要。