2特殊矩阵方阵乘积的行列式.pdf
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2023-09-03
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§3.2 特殊矩阵 方阵乘积的行列式
本节介绍几种特殊且常用的矩阵及这些特殊矩阵的运算性质及方阵乘积的行列式．
一、对角矩阵
定义 1 如果 n 阶方阵 A=(a
ij
)中的元素满足 a
ij
=0，i≠j(i，j=1，2，… n)，则称 A 为对
角矩阵．即：
A=
nn
a
a
a
00
00
00
22
11
，可简记为
nn
a
a
a
22
11
对角矩阵的运算有下列性质：
(1)同阶对角矩阵的和以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵．
(2)对角矩阵 A 的转置 A
T
仍是对角矩阵，且 A
T
=A．
(3)任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，且它们是可交换的．即若
A=
n
a
a
a
2
1
， B=
n
b
b
b
2
1
，
则 AB=
nn
ba
ba
ba
22
11
，并且有 AB=BA．
(4)对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角线元素都不等于零．且
A=
n
a
a
a
2
1
可逆时， 有 A
–1
=
1
1
2
1
1
n
a
a
a
性质(1)(2)(3)可直接验证，下面只证性质(4)
因矩阵 A 可逆 |A|≠0．对于对角矩阵而言，
|A|≠0 a
1
a
2
… a
n
≠0
a
1
≠0，a
2
≠0，…， a
n
≠0，
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