第4章拉普拉斯变换.pdf

拉普拉斯变换是一种在工程和科学领域广泛应用的数学工具，特别是在信号处理、控制系统和电路分析中。它将时间域中的函数转换为复频域的表示，使得复杂的微分方程和动态系统的分析变得更为简单。 1. **从傅立叶变换到拉普拉斯变换** 傅立叶变换主要处理周期性信号，而拉普拉斯变换通过增加一个指数因子`e^(-st)`扩展了傅立叶变换的能力，使其适用于非周期和非稳定信号的分析。拉普拉斯变换定义为`( )_tF = L(f_t) = ∫_0^∞ e^(-st)f_t dt`，其中`s`是一个复数，通常表示为`s = σ + jω`，其中`σ`是实部（收敛因子），`ω`是虚部（角频率）。 2. **收敛域** - **因果信号**：如果信号`f(t)`仅在`t > 0`存在，那么拉普拉斯变换的收敛域是`s`的实部大于某个非负值`σ_c`，即`σ > σ_c`。 - **反因果信号**：如果信号仅在`t < 0`存在，收敛域则是`s`的实部小于某个非正值。 - **双边信号**：对于同时在正负时间轴上都存在的信号，收敛域会更复杂。 3. **单边拉普拉斯变换** 对于只关心`t >= 0`的信号，可以使用单边拉普拉斯变换，这通常包括δ函数及其导数。单边变换简化了收敛域的讨论，并且对于因果信号非常有用。 4. **常见信号的拉普拉斯变换** - **单边指数信号**：`f(t) = e^(αt)`的拉普拉斯变换为`F(s) = 1/(s - α)`。 - **冲激信号**：δ函数的拉普拉斯变换为`1/s`，而δ函数的导数的拉普拉斯变换为`-1/s^2`。 - **阶跃信号**：单位阶跃函数`u(t)`的拉普拉斯变换为`1/s`。 - **正余弦信号**：正弦和余弦信号的拉普拉斯变换涉及到复数的极点和零点。 5. **拉普拉斯变换的性质** - **线性**：拉普拉斯变换保持线性操作，常数倍的信号和信号的和的拉普拉斯变换分别是各自拉普拉斯变换的倍数和和。 - **原函数微分**：如果`f(t)`的拉普拉斯变换是`F(s)`，那么`f'(t)`的拉普拉斯变换是`-sF(s)`。 - **原函数积分**：如果`f(t)`的拉普拉斯变换是`F(s)`，那么`∫_0^t f(τ) dτ`的拉普拉斯变换是`F(s)/s`。 - **延时**：函数`f(t-t0)`的拉普拉斯变换等于`e^{-st0}F(s)`。 - **S域平移**：函数`f(t)e^{αt}`的拉普拉斯变换是`F(s-α)`。 拉普拉斯变换在解决线性常微分方程（如控制系统和电路分析中的微分方程）时特别有用，因为它可以把这些方程转化为代数问题来解决。通过分析系统函数`H(s)`，可以了解系统的频率响应、稳定性、振荡特性和瞬态行为。拉普拉斯变换也经常与Z变换一起使用，共同构成了现代信号处理和控制系统理论的基础。