空间向量及其运算
1 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平
面内的两条有向线段来表示 +
2. 空间向量的运算
定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
OB OA AB a b
;
BA OA
运算律:⑴加法交换律:
abb
⑵加法结合律:
(
a b) c
OB a
b
;
OP a(
R
)
a
a (b c)
D'.
A'
⑶数乘分配律:
(
a b)
a b
3平行六面体 :
平行四边形 ABCD^移向量
a
到 A BCD 的轨迹所形成的几何体, 叫做平行六面体, 并记作:ABCD- A BCD
+它的六个面都是平行四边 形,每个面的边叫做平行六面体的棱
4.平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直 线上,所以
平行向量也叫做共线向量.
向量
b
与非零向量
a
共线的充要条件是有且只有一个实数
要注意其中对向量
a
的非零要求.
5 共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行 向量.
a
平
行于
b
记作
a
〃
b
.
当我们说向量
a
、
b
共线(或
a
//
b
)时,表示
a
、
b
的有向线段所在的直线可能是同一直 线,也可
能是平行直线.
6.共线向量定理:空间任意两个向量
入使
b
=
xa
.
a
、
b
(
b
丰
0
),
a
//
b
的充要条件是存在实数 入使
a
=X
b
.
推论:如果
I
为经过已知点 A 且平行于已知非零向量
a
的直线,那么 对于任
意一点 0,点 P 在直线
I
上的充要条件是存在实数 t 满足等式
OP 0A t a
其中向量
a
叫做直线
I
的方向向量
空间直线的向量参数表示式:
OP 0A t a
或
OP 0A t(OB 0A)
中点公式.
OP (OA OB)
(1 t)OA tOB
,
2
uu
.向量与平面平行:已知平面 和向量
a
,作
0A
a
,如果直线
OA
平行于或在内,那么 我们说向量
a
平行于平面,记作:
a
〃 通常 我们把平行于同一平面的
向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面
的.
r
&共面向量定理:如果两个向量
a,b
不共线,
P
与向量
a,b
共面的充要条件是存在实数
x, y
使
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