第一类曲线积分.pdf
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2023-04-03
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第一类曲线积分
§1 第一类曲线积分的计算
设函数
, ,f x y z
在光滑曲线
l
上有定义且连续,
l
的方程为
0
x x t
y y t t t T
z z t
则
0
2 2 2
, , , , ' ' '
T
l t
f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt
。
特别地,如果曲线
l
为一条光滑的平面曲线,它的方程为
y x
,
a x b
,那么有
2
( , ) , ( ) 1 ' ( )
b
l a
f x y ds f x x x dx
。
例:设
l
就是半圆周
taytax sin , cos
,
t0
。求
2 2
( )
l
x y ds
。
例:设
l
就是曲线
xy 4
2
上从点
) 0 , 0 (O
到点
) 2 , 1 (A
的一段,计算第一类曲线积分
l
yds
。
例:计算积分
2
l
x ds
,其中
l
就是球面
2222
azyx
被平面
0 zyx
截得的圆周。
例:求
l
I x y ds
,此处
l
为连接三点
0, 0O
,
1, 0A
,
1,1B
的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算
一 曲面的面积
(1)设有一曲面块
S
,它的方程为
,z f x y
。
,f x y
具有对
x
与
y
的连续偏导数,即此曲面就是光滑的,且其在
XY
平面上的投影
xy
为可求面积的。则该
曲面块的面积为
2 2
1
xy
x y
S f f dxdy
。
(2)若曲面的方程为
,
,
,
x x u v
y y u v
z z u v
令
2 2 2
u u u
E x y z
,
u v u v u v
F x x y y z z
,
2 2 2
v v v
G x y z
,
则该曲面块的面积为
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