一、曲线积分与曲面积分的计算方法
1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:
(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分.
(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分
(3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分.
(4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分.
(5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分.
(6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分.
2. 在具体计算时,常用到如下一些结论:
(1)若积分曲线关于轴对称,则
1
0
( , )
2 ( , )
L
L
f x
f x y ds
f x y ds f x
对 为奇函数
对 为偶函数
1
0
( , )
2 ( , )
L
L
P x
P x y dx
P x y dy P x
对 为奇函数
对 为偶函数
1
0
( , )
2 ( , )
L
L
Q x
Q x y dy
Q x y dy Q x
对 为偶函数
对 为奇函数
其中是在右半平面部分 .
若积分曲线关于轴对称,则
1
0
( , )
2 ( , )
L
L
f y
f x y ds
f x y ds f y
对 为奇函数
对 为偶函数
1
0
( , )
2 ( , )
L
L
P y
P x y dx
P x y dy P y
对 为偶函数
对 为奇函数
1
0
( , )
2 ( , )
L
L
Q y
Q x y dy
Q x y dy Q y
对 为奇函数
对 为偶函数
其中是在上半平面部分 .
(2)若空间积分曲线关于平面
y x
对称,则
( ) ( )
L L
f x ds f y ds
.
(3)若积分曲面关于
xOy
面对称,则
1
0
( , , )
2 ( , , )
f z
f x y z dS
R x y z dS f z
对 为奇函数
对 为偶函数
1
0
( , , )
2 ( , , )
R z
R x y z dxdy
R x y z dxdy R z
对 为偶函数
对 为奇函数
其中是在
xOy
面上方部分.
若积分曲面关于
yOz
面对称,则
1
0
( , , )
2 ( , , )
f x
f x y z dS
R x y z dS f x
对 为奇函数
对 为偶函数
1
0
( , , )
2 ( , , )
P x
P x y z dydz
P x y z dydz P x
对 为偶函数
对 为奇函数
其中是在
yOz
面前方部分.
若积分曲面关于
zOx
面对称,则
1
0
( , , )
2 ( , , )
f y
f x y z dS
R x y z dS f y
对 为奇函数
对 为偶函数
1
0
( , , )
2 ( , , )
Q y
Q x y z dzdx
Q x y z dzdx Q y
对 为偶函数
对 为奇函数
其中是在
zOx
面右方部分 .
(4)若曲线弧
( )
: ( )
( )
x x t
L t
y y t
,则
2 2
( , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( )
L
f x y ds f x t y t x t y t dt
若曲线弧
: ( ) ( )
L r r
(极坐标),则
2 2
( , ) ( )cos , ( )sin ( ) ( )
L
f x y ds f r r r r d
若空间曲线弧
( )
: ( ) ( )
( )
x x t
y y t t
z z t
,则