元线性回归是一种统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。在这个场景中，我们关注的是一元线性回归方程的建立，通常用于描述一个因变量（Y）如何随自变量（X）变化。一元线性回归模型是最简单的形式，假定Y和X之间的关系可以用一条直线来近似。
一、一元线性回归方程的建立
在一元线性回归中，我们尝试找到一个直线方程，即 Y = a + bx，其中a是截距，b是斜率。这个方程表示Y与X之间的数学关系。例如，在氮含量与铁合金溶液初生奥氏体析出温度的关系中，氮含量（X）的增加可能会导致析出温度（Y）的下降，而这个关系可以通过一元线性回归来描述。
二、最小二乘法原理
为了找到最佳的线性拟合，我们使用最小二乘法。最小二乘法的目标是寻找使得所有数据点到这条直线的垂直距离平方和（即残差平方和Q）最小的a和b值。这确保了回归线最能代表数据点的整体趋势，即使不是每个点都精确地落在直线上。
三、正规方程组
利用微分法找出函数Q(a, b)的极值，我们可以建立正规方程组来求解a和b。正规方程组的形式为：Σ(xi - x̄)(yi - ȳ) = 0 和 Σ(xi - x̄)² = 0，其中x̄和ȳ分别是X和Y的均值。解这个方程组，我们得到a和b的值，从而确定回归方程。
四、统计学原理
在统计学中，一元线性回归的建立基于随机变量的假设。给定X的值，Y的期望值E(Y | X = x)是一个函数，即E(Y | X = x) = f(x)。如果这个函数是线性的，E(Y | X = x) = a + bX，其中a和b是参数，X的特定值对应Y的期望值。在实际操作中，我们不能直接得到参数，而是通过样本数据估计它们。估计的参数要求具有无偏性，这意味着估计量的期望值等于真实的参数值。
总结来说，一元线性回归是通过最小二乘法确定的直线方程，它反映了自变量与因变量之间的平均关系。在实际应用中，如上述的氮含量对铁合金溶液初生奥氏体析出温度的影响，回归方程可以帮助我们理解变量间的关系并进行预测。通过正规方程组计算得到的回归系数（a和b）代表了这种关系的强度和方向。
