多元线性回归模型
多元线性回归模型是统计学中的一种常用模型，用于描述多个解释变量对被解释变量的影响关系。在本文中，我们将详细介绍多元线性回归模型的基本概念、假定条件、最小二乘法、多元可决系数与调整后的多元可决系数等知识点。
一、多元线性回归模型的基本概念
在一元线性回归模型中，我们只讨论了包含一个解释变量的一元线性回归模型，也就是假定被解释变量只受一个因素的影响。但是在现实生活中，一个被解释变量往往受到多个因素的影响。例如，商品的消费需求，不但受商品本身的价格影响，还受到消费者的偏好、收入水平、替代品价格、互补品价格、对商品价格的预测以及消费者的数量等诸多因素的影响。在分析这些问题的时候，仅利用一元线性回归模型已经不能够反映各变量间的真实关系，因此，需要借助多元线性回归模型来进行量化分析。
多元线性回归模型可以表示为：
ytt = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + u
其中，ytt 是被解释变量，x1、x2、…、xk 是解释变量，β0 是截距项，β1、β2、…、βk 是回归系数，u 是随机误差项。
二、假定条件
多元线性回归模型的假定条件与一元线性回归模型的基本假定相似，为保证得到最优估计量，多元线性回归模型应满足以下假定条件：
1. 随机误差项u 满足均值为零，其方差σ^2 相同且为有限值。
2. 随机误差项之间相互独立，无自相关。
3. 解释变量x1、x2、…、xk 之间线性无关，即解释变量的样本观测值矩阵式满秩矩阵，否则称解释变量之间存在多重共线性。
4. 解释变量x1、x2、…、xk 是确定性变量，与误差项彼此之间相互独立。
5. 解释变量是非随机变量，且当QXX^T = I 时，Q 是一个有限值的非奇异矩阵。
6. 随机误差项服从正态分布。
7. 回归模型是正确设计的。
三、最小二乘法
根据最小二乘法的原则，总体回归模型可以推导为样本回归模型，即：
ytt = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + u
其中，ytt 是被解释变量，x1、x2、…、xk 是解释变量，β0 是截距项，β1、β2、…、βk 是回归系数，u 是随机误差项。
四、多元可决系数与调整后的多元可决系数
类似于一元线性回归模型的情形，我们对估计的回归方程关于样本观测值的拟合优度进行检验，而检验的统计量是可决系数。因是多元回归，样本可决系数R^2 就称为多元可决系数。
对于多元线性回归模型的情形，一元线性回归模型的总离差平方和的分解公式依然成立，即：
TSS = ESS + RSS
其中，TSS 的自由度为n-1，n 表示样本容量，ESS 的自由度为k，k 表示自变量的个数，RSS 的自由度为n-k-1 。
在模型应用中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R^2 往往会增大。这是因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少，至少不会增加。 这就给人一个错觉：要使模型拟合得好，只要增加解释变量就可以了。但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R^2 的增大与拟合好坏无关，因此，在多元线性回归模型之间比较拟合优度，R^2 就不是一个合适的指标，必须加以调整。
定义调整的多元可决系数如下：
R^2_adj = 1 - (RSS / TSS) * (n-1) / (n-k-1)
其中，R^2_adj 是调整后的多元可决系数，n 是样本容量，k 是自变量的个数，RSS 是残差平方和，TSS 是总离差平方和。
