MATLAB一元线性回归方程的计算和检验 .pdf

在MATLAB中，一元线性回归是一种统计分析方法，用于建立两个变量间的关系模型，通常表示为 y = ax + b，其中y是因变量，x是自变量，a是斜率，b是截距。这个过程涉及计算最佳拟合线，使得数据点到这条线的平均距离（即残差平方和）最小。以下将详细讲解一元线性回归方程在MATLAB中的计算和检验步骤： 1. **数据输入**：我们需要从键盘通过`input`语句输入数据点(x, y)，其中i=1, 2, ..., n。这些数据点构成了我们的样本集。 2. **计算回归系数**： - **公式法**：利用最小二乘原理，计算斜率a和截距b。公式为：a = ∑(x - x_mean)(y - y_mean) / ∑(x - x_mean)^2, b = y_mean - a * x_mean。其中，x_mean和y_mean分别是x和y的均值。 - **最小二乘法**：最小化残差平方和Q(a, b) = ∑(yi - axi - b)^2，找到a和b的值，使得Q最小。 3. **回归方程有效性检验**：通常使用F分布进行检验，比较模型的解释方差与残差方差，如果F统计量的p值小于设定的显著性水平（如0.05），则拒绝原假设（即回归方程无效），接受备择假设（即回归方程有效）。 4. **图形展示**：将原始数据点(xi, yi)与回归线y=ax+b在同一坐标系中绘制出来，有助于直观理解模型的拟合情况。 在提供的MATLAB代码中，可以看到有三个函数： - `huigui`函数使用公式法计算回归系数a0和b0。 - `zxec`函数采用最小二乘法计算a0和b0。 - `regress`是MATLAB内置的多元线性回归函数，可以方便地得到回归系数、标准误差、残差等相关统计量。 `regress`函数的应用示例： ```matlab [b, bint, r, rint, stats] = regress(Y, X, alpha); ``` 这里，`b`是回归系数，`bint`是系数的置信区间，`r`是残差，`rint`是残差的标准误差，`stats`包含了诸如R方、调整R方、F统计量等统计信息。 此外，MATLAB还提供了其他函数如`polyfit`用于多项式拟合，`polyval`用于计算多项式函数在特定x值处的预测值，以及`polyconf`用于生成残差的置信区间。`polytool`是一个交互式的图形界面工具，可以方便地进行多项式回归分析。 MATLAB为一元线性回归提供了一整套强大的工具和函数，涵盖了数据输入、模型构建、有效性检验和结果可视化等全过程。通过灵活运用这些工具，我们可以有效地分析和理解两个变量之间的关系。