关于函数恒成立问题的解题..pdf

函数恒成立问题是一种常见的数学问题，它涉及到对函数性质的理解和应用，特别是寻找函数在特定区间上始终大于或小于某个值的情况。这类问题通常需要我们分析函数的最大值和最小值，以及它们与恒成立条件的关系。 解决函数恒成立问题的基本策略有两个主要思想： 1. **思路1**：若要证明 \(m \cdot f(x)\) 在 \(x\) 属于区间 \(D\) 上恒成立，可以考虑 \(m\) 至少等于 \(f(x)\) 的最大值，即 \(m \geq [f(x)]_{max}\)。 2. **思路2**：反之，若 \(m \cdot f(x)\) 在 \(x\) 属于区间 \(D\) 上恒成立，也可以考虑 \(m\) 至多等于 \(f(x)\) 的最小值，即 \(m \leq [f(x)]_{min}\)。 求函数在区间上的最大值或最小值，可以利用多种方法，如函数的单调性、函数图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等。这些方法的选择应根据题目具体情况进行。 针对不同类型的函数，解决恒成立问题的方法也有所不同： 1. **一次函数型**：若原问题可转化为一次函数形式，例如 \(y = af(x) + b\)（\(a \neq 0\)），可以利用一次函数的性质求解，非常直观。 2. **二次函数型**：在处理二次函数时，我们通常需要考虑其开口方向、对称轴位置以及端点值。例如，若要证明 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 在区间 \([m, n]\) 上恒正，可以考察 \(f(m)\) 和 \(f(n)\) 的符号，或者利用判别式。 举例来说，例3中，给定 \(a^2 > 0\) 时，求解不等式 \(x^2 - ax - 2ax + 1 > 0\) 恒成立的 \(x\) 值范围。通过转换为关于 \(a\) 的函数 \(f(a) = (x - 1)a - x^2 + 2x - 1\)，并确保 \(f(a)\) 在 \([-2, 2]\) 上恒正，可以找到 \(x\) 的取值范围。 例4中，对于函数 \(f(x) = (a^2 - 1)x^2 - (a - 1)x - (a^2 - 1)\)，要求定义域为全体实数，即 \(f(x)\) 在整个实数域上恒正。这需要考虑 \(a^2 - 1\) 的符号，并分析二次函数的开口方向和判别式。 例5中，函数 \(f(x) = x^2 - ax - 3a\) 在实数集上恒非负，可以转化为在区间 \([2, 2]\) 上的二次函数问题，通过讨论 \(a\) 与对称轴的关系来确定 \(a\) 的取值。 解决函数恒成立问题时，除了上述策略和方法，还需要灵活运用各种数学知识，例如不等式的性质、数形结合、分离变量、构造新函数等。重要的是要根据题目特点选择合适的方法，并进行充分的讨论和验证，确保结论的正确性。同时，通过练习和积累，可以逐步提高解决这类问题的能力。