曾谨言《量子力学导论》课后习题解答

【曾谨言《量子力学导论》课后习题解答】 量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观粒子的行为。本题集主要涉及一维和二维量子系统的能量本征值、本征波函数、简并度以及动量分布等核心概念。以下是针对各习题的解答概要： **3.1）二维无限深势阱** 在这个问题中，粒子被限制在一个二维的无界势阱中。解题的关键在于应用薛定谔方程来求解能量本征值和本征函数。能量的本征值和本征函数会取决于粒子的动量在x和y方向的量子数。如果量子数不同，能级就不简并；如果它们相等，能级就会简并。 **3.2）矩形匣子中的粒子** 对于在矩形匣子（一维有限势阱）中的粒子，能量本征值和本征波函数可以通过边界条件来确定。能级的简并度取决于量子数的取值。当量子数不同，能级不简并；当有两量子数相等，能级是三重简并的；所有量子数均不相等时，能级六重简并。 **3.3）一维无限深方势阱的定态粒子** 定态粒子的本征函数满足薛定谔方程。对比经典力学，量子力学下粒子在势阱内的概率分布与经典力学中的粒子运动路径不同。当量子数增大，量子力学结果逐渐接近经典力学。 **3.4）一维无限深方势阱基态粒子的动量分布** 基态波函数是已知的，可以用来计算粒子动量的概率分布。这涉及到傅里叶变换，通过将波函数从位置空间转换到动量空间来得到动量的几率分布。 **3.5）半壁高度的势场** 在半壁高度的势场中，粒子的能量本征值需要考虑不同区域的薛定谔方程，并通过波函数的连续性和有限性条件来求解。当满足特定条件时，存在束缚态能级。 **3.6）不对称势阱** 对于不对称势阱，能量本征值的求解需要考虑波函数在不同区域的连续性和边界条件。解题时通常会涉及到三角函数和连续性条件的运用，以确定可能的能级。 **3.7）粒子从左入射遇到势阱** 在解决反射和透射问题时，需要用到波动方程和波函数在不同区域的匹配条件。反射系数可以通过分析入射波、反射波和透射波的振幅来计算。 **3.8）Heisenberg不确定性原理的应用** Heisenberg不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。在某些情况下，这个原理可以帮助我们理解粒子行为的限制，例如在计算反射系数时。 以上这些问题覆盖了量子力学的基本理论和计算方法，包括薛定谔方程、边界条件、能量简并、动量分布以及Heisenberg不确定性原理的应用，这些都是理解和解决量子系统问题的关键工具。通过这些习题，学生能够深入理解量子世界的奇妙规则。