【数值分析期末考试试题】是针对研究生阶段的数值分析课程所设计的一套综合性的测试题目。这组试题包含了从2000年至2004年间的若干年份的期末考试内容，旨在评估学生对数值分析核心概念的理解和应用能力。
1. **填空题**
- 在n+1个互异节点的插值型数值求积公式中，代数精度最高可达n次。这意味着该公式可以精确计算所有次数小于或等于n的多项式。
- SOR（Successive Over-Relaxation）方法的收敛性要求松弛因子ω满足1≤ω≤2。这是保证迭代过程不会发散的必要条件。
- 插值型求积公式节点为高斯点的充分必要条件是这些节点满足某种特定的正交性条件，如Legendre-Gauss节点，它们使得插值公式具有最优的代数精度。
- 对于n×n矩阵A，如果A是对称矩阵，那么A的共轭转置等于其自身，即Aᴴ=A；若A是对角占优矩阵，那么其逆矩阵也对角占优，即A⁻¹也是对角占优的。
- 解线性方程组的迭代法收敛的充分必要条件通常涉及到迭代矩阵的谱半径ρ(B)小于1，其中B是迭代矩阵。
- 判断函数是否为三次样条函数，需要检查函数在指定区间上的连续性和三次导数的连续性。
2. **计算与证明题**
- 第二题要求在一定误差范围内使用二次插值计算函数近似值，涉及误差分析和步长的选择。
- 第三题涉及有理插值，这是一种扩展了多项式插值的方法，适用于处理非多项式数据。
- 第四题需要构造一个四次或更低次的多项式来近似给定函数，同时推导余项，这涉及到拉格朗日插值和余项的性质。
- 第五题利用Romberg方法求解积分，这是一种高精度的数值积分技术，通过重复应用梯形规则来提高精度。
- 第六题要求利用Simpson法则进行数值积分，这是一阶的矩形法和二阶的梯形法之间的折中，提供了更高的精度。
- 第七题探讨了等价方程根的性质，证明了一阶导数检验和二阶导数检验在判断单根时的作用。
- 第八题考察Gauss-Seidel迭代法，用于求解线性方程组，要求分析其收敛性并进行具体计算。
- 第九题证明高斯求积公式的系数始终为正，这是高斯求积公式稳定性和无条件收敛性的关键特性之一。
这些试题涵盖了数值分析中的重要主题，包括插值、数值积分、迭代法、矩阵理论和微分方程的数值解。解答这些问题需要对这些概念有深入理解，以及熟练应用相关算法的能力。
