图论是数学的一个分支，起源于1736年欧拉的一篇论文，主要研究点与点之间连接关系的结构。在过去的200年间，图论发展相对缓慢，但在近40年，随着它与物理、化学、计算机科学、信息科学等多个领域的结合，其发展速度显著加快。图论主要分为抽象图论和最优化图论，而这里我们关注的是最优化图论，特别是与通信网结构相关的应用。
在图论中，一些基本的定义和概念至关重要。首先，图是由有限的点集V和边集E组成的整体，记为G=(V,E)。点集V中的元素称为节点或顶点，边集E中的元素称为边，它是连接两个节点的连线。如果考虑方向，边被称为弧，并且有向图G=(V,E)由点集和弧集组成。混合图则是同时包含边和弧的图。图的子图A是当A的节点集和边集分别是G的节点集和边集的子集时形成的。
节点的次或度数是指与该节点相连的边的数量。在无向图中，度数为正整数，而在有向图中，分为正次数（出度）和负次数（入度）。相邻点是通过共享一条边相互连接的节点，相邻边是共享相同端点的边。
图论中的一些核心问题包括最短路径问题、最小生成树问题以及流量分配问题。最短路径问题旨在找到网络中两点之间路径的最小成本或距离，有许多算法可以解决这个问题，如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。最小生成树问题是在加权无向图中找到一棵包括所有节点且总权重最小的树，Prim算法和Kruskal算法是常见的解决方案。流量分配问题，如最大流问题，旨在确定网络中可以从源节点到汇点的最大可能流量，而最佳流问题则是在满足特定条件下的最优流量分配。
此外，站址问题涉及到在通信网络中选择合适的站点以覆盖特定区域，单中点问题通常关注一个中心节点的选择，多中点问题则涉及多个中心节点的确定，而设站问题则需要考虑如何设置基站以满足服务需求的同时降低成本。
在图的性质中，端点的度数之和总是等于边数的两倍，这是由每条边连接两个端点的事实决定的。此外，图中度数为奇数的端点数量必须是偶数，这是因为每条边增加两个端点的度数，使得总和始终是偶数。这个性质在解决某些图论问题时非常有用，例如判断是否存在哈密顿回路或寻找图的匹配。
总的来说，图论是理解和解决复杂网络问题的关键工具，广泛应用于通信网络设计、运输规划、电路设计等多个领域。通过掌握这些基本概念和解决问题的方法，我们可以更好地理解和优化这些网络系统。
