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离散数学课本习题.doc
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离散数学课本习题.doc
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习题 1.1
1、用列举法给出以下集合:
a) 小于 5 的非负整数的集合;
b) 10 到 20 之间的素数的集合;
c) 不超过 65 的 12 之正整数倍数的集合。
2、用命题法给出以下集合:
a) 不超过 100 的自然数的集合;
b) E
v
和 O
d
;
c) 10 的整倍数的集合。
3、用归纳定义法给出以下集合:
a) 允许有前 0 的十进制无符号整数的集合;
b) 不允许有前 0 的十进制无符号整数的集合;
c) 允许有前 0 和后 0 的有有限小数局部的十进制无符号实数的集合;
d) 不允许有前 0 的十进制无符号偶数的集合;
e) E
v
和 O
d
;
f) 集合{0,1,4,9,16,25,…}。
4、确定以下集合中哪些是相等的:
A={x|x 为偶数且 x
2
为奇数}
B={x|有 y∈I 使 x=2y}
C={1,2,3}
D={0,2,-2,5,-3,4,-4}
E={2x|x∈I}
F={3,3,2,1,2}
G={x|有 x∈I 且 x
3
-6x
2
-7x-6=0}
5、确定以下关系中哪些是正确的,并简单说明理由。
a)
b)
c) Í{}
d) Î{Æ}
e) {a,b}Í{a,b,c,{a,b,c}}
f) {a,b}Î{a,b,c,{a,b,c}}
g) {a,b}Í{a,b,{a,b}}
h) {a,b}Î{a,b,{a,b}}
6、设 A、B 和 C 为集合。证明或用反例推翻以下的各个命题:
a) 假设 AB 且 BC,那么 AÏC。
b) 假设 AB 且 BÏC,那么 AÏC。
c) 假设 AB 且 BÏC,那么 AÏC。
d) 假设 AB 且 BC,那么 AÎC。
7、假设 A、B 为集合,那么 AÍB 与 AB 能同时成立吗?请证明你的结论。
8、列举出以下集合中每个集合的所有子集:
a) {1,2,3}
b) {1,{2,3}}
c) {{1,{2,3}}}
- word.zl-
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d) {}
e) {, {}}
f) {{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}
g) { {,2},{2}}
9、给出以下集合的幂集:
a) {a,{b}}
b) {1,}
c) { x, y, z}
d) {,a,{a}}
e) ({})
10、设 (A)=Ã (B)。证明 A=B。
习题 1.2
1. 设 U={1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,2,5},C={2,4}。试求以下集合:
a) A ~B;
b) (A B) ~C;
c) ~ (A B);
d) ~A ~B;
e) (A – B) – C;
f) A – (B – C);
g) (A B) C;
h) (A B)(B C)
2. 设 A={n|nI
+
且 n<12},B={ n|nI
+
且 n8},C={2n|nI
+
},D={3n|nI
+
} 且
E={ 2n-1|nI
+
}试用 A,B,C,D 和 E 表达以下集合:
a) {2,4,6,8};
b) {3,6,9};
c) {10};
d) {n|n 为偶数且 n>10};
e) {n|n 为正偶数且 n10,或 n 为奇数且 n9}。
3. 证明:
a) 如果 AB 且 CD,那么 ACBD 且 ACBD;
b) A(B-A)=;
c) A(B-A)=AB;
d) A – (B C)= (A – B) (A – C);
e) A – (B C)= (A – B) (A – C);
f) A – (A – B) = A B;
g) A-(B-C)=(A-B)(AC)。
4. 证明
a) A=B 当且仅当 AB=;
b) AB= BA;
c) (AB)C= A(B C);
d) A(B C)=(AB)(AC);
e) (B C) A=(BA)(CA)。
- word.zl-
- -
5. 判断一下结论是否成立,如果或成立,就给予证明,如果不成立,就用文氏图加以说
明。
a) 假设 ACBC 且 ACBC,那么 AB;
b) 假设 AB=AC 且AB=AC,那么 B=C;
c) 假设 AB=AC,那么 B=C;
d) 假设 AB=AC,那么 B=C;
e) AB=AC,那么 B=C;
f) 假设 ABC,那么 AB 或 AC;
g) 假设 BCA,那么 BA 或 CA。
6. 给出以下各式成立的充分必要条件,并加以证明。
a) (A-B)(A-C)=A;
b) (A-B)(A-C)=;
c) (A-B)(A-C)=A;
d) (A-B)(A-C)= A;
e) (A-B)(A-C)=A;
f) (A-B)(A-C)= ;
g) AB=AB;
h) A-B=B;
i) A-B=B-A;
j) AB=A;
k) (A)(B)=(AB);
7. 设 A,B 为任意两个集合,证明:
a) (A)(B)(AB);
b) (A)(B)=(AB)。
8. 试求出和,其中为:
a) {{}};
b) {,{}};
c) {{a},{b},{a,b}}。
9. 设 且 , 且 , 。 证明
10. 设 且 , ,试求 和
11. 设 且 。试求 和 。
12. 设 , ,我们称 和 分别为集合序列 的上极
限和下极限,证明:
a) 为由一切属于无限多个 的元素组成的集合;
- word.zl-
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b) 为由一切属于“几乎所有〞的 的元素组成的集合。
习题 1.3
1、 用归纳法证明:
a) ;
b) 2+2
2
+2
3
+…+2
n
=2
n+1
-2;
c) 2
n
=2n;
d) 3|n
3
+2n;
e) 1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) =
f) 任意三个相邻整数的立方和能被 9 整除;
g)11
n+2
+12
2n+1
是 133 的倍数;
h) 假设 nI
+
那么 。
2、设 a
0
,a
1
,a
2
,…为由自然数组成的严格单调递增序列。证明:假设 nN,那么
n≤a
n
。
3、斐波那契(Fibonacci)数列定义为
F
0
=0
F
1
=1
F
n+1
=F
n
+F
n-1
,nI
+
证明:假设 nI
+
,那么 。
4、设 n, mI
+
且 n>m。假定有 n 个直立的大头针,甲、乙两人轮流把这些直立的大头针
扳倒。规定每人每次可扳倒 1 至 根,且扳倒最后一根直立的大头针者为获胜者。试证明:
如果甲先扳且(m+n)不能整除 n,那么甲总能获胜。
5、证明以下的二重归纳原理的正确性:
设 i
0
,j
0
N。假定对任意自然数 i≥i
0
及 j≥j
0
,皆有一个命题 P(i, j)满足:
i)P(i
0
, j
0
)真;
ii)对任意自然数 k≥i
0
及 l≥j
0
,假设 P(k, l)真,那么 P(k+1, l)和 P(k, l+1)皆真。那么
对任意自然数 i≥i
0
及 j≥j
0
,P(i, j)皆真。
6、证明:假设 nN,那么 nn。
7、证明:假设 n,mN,那么 n m 当且仅当 n m。
8、证明:假设 n,mN,那么 n m 当且仅当 n
+
m
+
。
9、证明:假设 n,mN,那么 n<m 当且仅当有 xN 使 m = n+x
+
。
10、证明:假设 nN,那么不可能有 mÎN 使 n<m<n
+
。
习题 1.4
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