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线性方程组的直接法和迭代法.doc
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线性方程组的直接法和迭代法.doc
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线性方程组的直接法
直接法就是经过有限步算术运算,无需迭代可直接求得方程组准确解的方法。
线性方程组迭代法
迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组准确解的方法.该方法具有
对计算机的存贮单元需求少,程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变
等优点,是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法.迭代法不是用有限步运算求
准确解,而是通过迭代产生近似解逼近准确解.如 Jacobi 迭代、Gauss—
Seidel 迭代、SOR 迭代法等。
1. 线性方程组的直接法
直接法就是经过有限步算术运算,无需迭代可直接求得方程组准确解的方法。
1.1 Cramer 法那么
Cramer 法那么用于判断具有 n 个未知数的 n 个线性方程的方程组解的情
况。当方程组的系数行列式不等于零时,方程组有解且解唯一。如果方程组无
解或者有两个不同的解时,那么系数行列式必为零。如果齐次线性方程组的系
数行列式不等于零,那么没有非零解。如果齐次线性方程组有非零解,那么系
数行列式必为零。
定理 1 如果方程组
Ax b
中
0D A
,那么
Ax b
有解,且解事唯一
的,解为
1 2
1 2
, ,... ,
n
n
D
D D
x x x
D D D
i
D
是 D 中第 i 列换成向量 b 所得的行列
式。
Cramer 法那么解 n 元方程组有两个前提条件:
1、未知数的个数等于方程的个数。
2、系数行列式不等于零
例 1 a 取何值时,线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
x x x a
ax x x
x x ax
有唯一解。
解:
2
1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 ( 1)
1 1 0 0 1
A a a a a
a a
- word.zl-
- -
所以当
1a
时,方程组有唯一解。
定理 2 当齐次线性方程组
0Ax
,
0A
时该方程组有唯一的零解。
定理 3 齐次线性方程组
0Ax
有非零解
0A
。
1.2 Gauss 消元法
Gauss 消元法是线性代数中的一个算法,可用来为线性方程组求解,求
出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时,高斯消元法会
产生出一个“行梯阵式〞。
1.2.1 用 Gauss 消元法为线性方程组求解
eg:Gauss 消元法可用来找出以下方程组的解或其解的限制:
1
2
3
2 8
3 2 11
2 2 3
x y z L
x y z L
x y z L
这个算法的原理是:首先,要将
1
L
以下的等式中的
x
消除,然后再将
2
L
以下的等式中的
y
消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。
之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中,就可求出
其余的答案了。
在刚刚的例子中,我们将
1
3
2
L
和
2
L
相加,就可以将
2
L
中的
x
消除了。
然后再将
1
L
和
3
L
相加,就可以将
3
L
中的
x
消除。
方程组那么变为:
- word.zl-
- -
2 8
1 1
1
2 2
2 5
x y z
y z
y z
现在将
2
4L
和
3
L
相加,就可将
3
L
中的
y
消除,方程组变为:
2 8
1 1
1
2 2
1
x y z
y z
z
这样就完成了整个算法的初步,一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上
例中的变量各为 3,2,1 个)出现了。第二步,就是由尾至头地将的答案代入其他
等式中的未知数。第一个答案就是
1z
。然后直接带入,立即就可得出第
二个答案:
3y
和最后一个答案
2x
。这样,我们利用高斯消元法解决了
这个方程组。
2. 线性方程组迭代法
迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组准确解的方法.该方法
具有对计算机的存贮单元需求少,程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中
不变等优点,是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法.迭代法不是用有限步运
算求准确解,而是通过迭代产生近似解逼近准确解.如 Jacobi 迭代、Gauss—
Seidel 迭代、SOR 迭代法等。
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