### 实验2-LTI系统的时域分析
#### 实验目的
本实验旨在通过MATLAB工具，深入了解线性时不变（LTI）系统在时域中的分析方法。具体目标包括：
1. **掌握MATLAB中LTI系统建模方法**：学会如何通过微分方程描述连续时间LTI系统，并将其转化为MATLAB中的模型。
2. **零状态响应的计算与绘制**：能够求解连续时间和离散时间系统的零状态响应，并使用MATLAB函数绘制响应曲线。
3. **单位冲激响应与单位阶跃响应的获取**：掌握如何获得连续时间系统和离散时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应，并理解这些响应对于系统特性的意义。
4. **卷积积分与卷积和的计算**：学会计算连续时间信号的卷积积分以及离散时间序列的卷积和。
#### 实验原理
本节将详细介绍LTI系统的时域分析原理，包括连续时间系统和离散时间系统的分析方法。
##### 连续时间系统时域分析
1. **MATLAB表示**：
- 通过微分方程描述LTI连续系统，并在MATLAB中建立模型。例如，假设系统的传递函数为`H(s) = b(s)/a(s)`，则可以用系数向量`b`和`a`表示。
- `b = [b1, b2, ...]`代表分子多项式的系数。
- `a = [a1, a2, ...]`代表分母多项式的系数。
- 使用`tf`函数创建系统模型：`sys = tf(b, a)`
2. **零状态响应**：
- 利用`lsim`函数计算并绘制输入信号`x`作用下的零状态响应。`lsim(sys, x, t)`其中`t`是时间向量。
3. **单位冲激响应与单位阶跃响应**：
- 单位冲激响应：调用`impulse`函数绘制冲激响应波形。
- `impulse(sys)`：默认时间范围内绘制。
- `impulse(sys, T)`：指定时间范围`T`内绘制。
- `impulse(sys, ts:tp:te)`：在时间范围`ts`到`te`之间，以步长`tp`取样绘制。
- 单位阶跃响应：调用`step`函数绘制阶跃响应波形。
- `step(sys)`：默认时间范围内绘制。
- `step(sys, T)`：指定时间范围`T`内绘制。
- `step(sys, ts:tp:te)`：在时间范围`ts`到`te`之间，以步长`tp`取样绘制。
##### 离散时间系统时域分析
1. **MATLAB表示**：
- 同样使用系数向量`b`和`a`表示离散时间系统。
- `b = [b1, b2, ...]`
- `a = [a1, a2, ...]`
2. **任意输入的响应**：
- 利用`filter`函数计算任意输入信号`x`作用下的系统响应。
3. **单位抽样响应**：
- 调用`impz`函数绘制单位抽样响应波形。
- `impz(b, a)`：默认时间范围内绘制。
- `impz(b, a, N)`：指定时间范围`N`内绘制。
- `impz(b, a, ns:ne)`：在时间范围`ns`到`ne`之间绘制。
4. **卷积与卷积积分**：
- **离散时间序列的卷积和**：使用`conv`函数计算。
- **连续时间信号的卷积积分**：在足够小的时间间隔下，通过卷积和来近似。
#### 实验内容
以下是对给定微分方程描述的LTI系统的实验分析：
1. **模拟低通、高通、带通和带阻滤波器**：
- 对于每个滤波器的微分方程，使用MATLAB绘制单位冲激响应和单位阶跃响应。
- 例如，对于低通滤波器：
```matlab
b = [1];
a = [1 2^(1/2) 1];
sys = tf(b, a);
subplot(121);
impulse(sys);
xlabel('t(s)');
ylabel('y(t)');
title('单位冲击波形');
subplot(122);
step(sys);
xlabel('t(s)');
ylabel('y(t)');
title('阶跃响应波形');
```
2. **某系统微分方程描述**：
- 绘制系统冲击响应和阶跃响应的时域波形。
- 例如，对于微分方程`d^2y/dt^2 + 6dy/dt + y = u`，其中`u`为输入信号：
```matlab
b = [1];
a = [1 6 1];
sys = tf(b, a);
subplot(121);
impulse(sys);
xlabel('t(s)');
ylabel('y(t)');
title('单位冲击波形');
subplot(122);
step(sys);
xlabel('t(s)');
ylabel('y(t)');
title('阶跃响应波形');
```
- 分析系统的稳定性：基于冲击响应的时域波形，观察系统输出是否随时间趋于稳定。
- 计算零状态响应：对于给定的输入信号`u`，求解系统的零状态响应。
以上实验内容展示了如何使用MATLAB进行LTI系统时域分析的基本步骤和技术。通过这些实践操作，可以更深入地理解LTI系统的特性及其在实际工程应用中的重要性。
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