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第6讲+MATLAB在最优化中的运用

matlab

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第六讲 MATLAB 在最优化中的应用

MATLAB 常用的优化函数见下表：

函数名说明

fminbnd

有边界的标量最小化

fminunc

无约束非线性最小化

fminsearch

无约束非线性最小化搜索

linprog

线性规划，具有等式约束或不等式约束

quadprog

二次规划，具有等式约束或不等式约束

fmincon

条件约束非线性最小化

fgoalattain

多目标达到课题

fminmax

最大最小化

fseminf

半无限最小化

lsqlin

有约束线性最小二乘解

一、线性规划

1、线性规划又称线性最优化。首先要有一个目标函数；其次要有一组控制

变量或称为决策变量；第三需要一组约束条件。线性规划的难点在于寻

找问题的线性规划数学模型。

2、 MATLAB 解线性规划的函数为 linprog。它对于目标函数，等式和不等

式的约束条件的表述如下：

使得目标函数最小

min

受不等式约束为 Ax b



受等式约束为 Aeq x＝beq

上下限为 lb x ub



其中，f、x、b、beq、lb、ub 为向量，而 A、Aeq 为矩阵。f 为目标函数

的系数向量，x 为决策变量。b 为不等式约束表达式右端的常数向量。beq

为等式约束表达式右端的常数向量。lb、ub 为 x 的下界和上界。

3、如果求解目标函数的最大值，可将目标函数改为负值来求解最小值，解

出后再将目标函数的符号改回来。若不等式约束是大于等于形式，则可

以在不等式两端乘上负号，改变不等式方向。

4、函数 linprog 的书写格式如下：

最优解：

x=linprog(f,A,b) %用于不等式约束，使目标函数为最小的解。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %用于具有等式约束和不等式约束，使

目标函数为最小的解。若只有等式约束，则不等式约束的矩阵 A 和向量

b 需用空阵[ ]代替。

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %增加了初始值设置

x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %指定了结构选项，该选项

由 optimset（最优化设置）来设置参数。

最优解及附有输出值的形式为：

[x,fval]=linprog(…) %返回最优解 x 的同时，附加目标值 fval 。

[x,fval,exitflag]=linprog(…) %返回一个 exitflag（退出标记）值，它描

述退出运算的条件。

[x,fval,exitflag,output]=linprog(…) %返回一个结构输出，它包含关于

最优化解算的信息。

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(…) %返回一个 lambda 结构参

数，表示了拉格朗日乘子内容。

5、举例：

——例 1：某工厂生产两种产品 A 和 B。产品 A 的利润每台 150 元，产品 B

的利润每台 200 元。产品 A、B 每台所需加工工时及设备所能提供加工工时

如下表所示。问如何安排生产才能使工厂的利润最大。

A B

每月可用工时

机械加工

3 2 1500

装配

2 3 1500

解：设 A 产品的台数为 Na，B 产品的台数为 Nb，总利润 P。

则目标函数为：MaxP=150Na+200Nb

约束条件为 2Na+3Nb≤1500

3Na+2Nb≤1500

Na，Nb≥0

故：MATLAB 命令为

A=[2 3;3 2];

b=[1500;1500];

f=[-150;-200]; %将目标函数改为负值，求极小值

[x,fval]=linprog(f,A,b) %求解线性规划

——例 2：某混合饲料由玉米粉和大豆饼组成，其配比要求和价格见下表。

求最有配比使得饲料成本最低。

玉米粉大豆饼配比要求

发热量

4Mcal/kg 2Mcal/kg

≥2.8Mcal/kg

蛋白含量

100g/kg 300g/kg

≥220g/kg

价格 2元/kg 1.6 元/kg

注：Mcal 为兆卡

解：设 1 公斤混合饲料中玉米粉含量为 x(1)，大豆饼含量为 x(2)，

则目标函数为： minZ=2x(1)+1.6x(2)

约束条件为： 4x(1)+2x(2) ≥2.8

100x(1)+300x(2) ≥220

x(1)+x(2)=1

x(1)、x(2) ≥0

故：MATLAB 命令为：

A=[4 2;100 300];

b=[2.8;220];

f=[2;1.6];

lb=zeros(2,1);

Aeq=[1 1];beq=1;

A=-A;b=-b; %将约束不等式改写成小于等于

[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)

——例 3：某公司董事会决定将 20 万元进行债券投资。经咨询，现有五种

债券是比较好的投资对象，它们是：黄河汽车、长江汽车、华南电器、西南

电器、镇山纸业。它们的投资回报率如下表所示。为降低风险，董事会要求，

对汽车业的投资不得超过 12 万元，对电器业的投资不得超过 8 万元，其中

对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的 65%，对纸业的投资不得低于

对汽车业投资的 20%，该公司应如何投资才能在满足董事会要求的前提下

使得总回报额最大？（不允许卖空）

债券黄河汽车长江汽车华南电器西南电器镇山纸业

回报率

0.065 0.092 0.045 0.055 0.042

解：设该公司对这五种债券的投资额分别为 x1、x2、x3、x4、x5。

12345

212

512

12345

. . max 0.065 0.092 0.045 0.055 0.042

. . 200000

120000

80000

0.65( )

0.20( )

ob x x x x x

st x x x x x

xxx

xxxxx











、、、、

故：MATLAB 命令为：

A=[1 1 0 0 0;0 0 1 1 0;-0.65 0.35 0 0 0;0.2 0.2 0 0 -1];

b=[120000;80000;0;0];

f=[-0.065;-0.092;-0.045;-0.055;-0.042];

lb=zeros(5,1);

Aeq=[1 1 1 1 1];beq=200000;

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)

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