2010数模全国赛A题—储油罐变位识别与罐容表标定

在托圆柱体的小型试验罐方面容易通过简单积分给出表达式，通过数值积分方法求的体积，作为标定依据，引入修正函数对误差进行修正。 对大型储油罐两端的球冠不容易用积分方法求出，可以使用蒙特卡洛方法求出其体积，利用最小二乘的方法反推出两变为参数，并对参数的可接受的扰动区间进行估计。 《储油罐变位识别与罐容表标定》 全国大学生数学建模竞赛2010年的A题，聚焦于储油罐的变位识别与容量表的修正，涉及了数学模型构建、数值计算以及误差修正等多个核心知识点。问题分为两大部分，一是“正问题”，即在已知变位参数的情况下，建立油位高度与油量的关系模型，并修正罐容表；二是“反问题”，即根据实际检测数据，识别储油罐的变位状态，并提供修正标定方法。 对于小椭圆型实验罐，我们需要构建正常状态下油位高度与油量的计算模型。这个模型可以用椭圆的几何特性来表达，通常涉及到椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度。在无变位时，可以通过简单的积分方法计算出油位与油量的关系。当罐体发生纵向倾斜变位时，需要修正模型，考虑罐体两端有油或无油的情况。通过代入变位参数，计算出修正后的罐容表，并与正常值对比，分析变位的影响。例如，纵向倾斜可能导致最大误差超过257L，平均误差超过190L，这需要通过修正函数进行调整。 对于大型储油罐，问题更复杂。不仅要考虑纵向变位，还要考虑横向偏转变位，这意味着模型会更为复杂。可以建立一个包含纵向和横向变位参数的模型，通过非线性最小二乘法来解决参数辨识问题。实际操作中，可以利用检测数据，计算出油位高度变化与储油量变化的关系，从而求解变位参数。需要注意，不能直接使用无变位时的显示储油量进行参数估计，而应该基于实际储油量的变化。 最小二乘法在这里起到了关键作用，它是一种优化技术，用于拟合数据点，寻找使残差平方和最小的参数值。在处理实际大储油罐的数据时，可以通过数值方法、工程方法或几何方法等进行近似计算，但必须确保引入变位参数的方法合理。在得到参数估计值后，可以构建变位后的罐容表，再利用后续的检测数据检验模型的准确性。 由于各种方法可能存在误差，因此在不同方法下计算的结果会有差异。例如，如果确定横向偏转变位影响不大，可以简化为单参数辨识问题，以减少不确定性。通过对比无变位情况的罐容表，可以更直观地评估模型的可靠性。 总结来说，本题涉及了小椭圆型罐体的几何模型构建、纵向倾斜修正、大型储油罐的多参数建模、最小二乘法的应用以及误差修正等关键概念。解决这些问题需要深厚的数学基础，以及将理论知识应用于实际问题的能力。