2011全国大学生数学建模竞赛A题题目及参考答案

所需积分/C币:50 2015-04-22 11:15:35 5.76MB PDF
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2011全国大学生数学建模竞赛A题题目及参考答案
1问题的重述 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量的影响 日显突岀.研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式,日益成为人们关注的焦点. 现对某城市城区十壤地质环境进行调查,获得了5个区8种重金属元素的每个样本 点的浓度及其相关数据 通过建立数学建模来完成以下任务: (1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布,并分析该城区内不同区域重金 属的污染程度. (2)通过数据分析,说明重金属污染的主要原因 (3)分析重金属污染物的传播特征,由此建立模型,确定污染源的位置. (4)分析你所建立模型的优缺点,为更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收 集什么信息?有了这些信息,如何建立模型解决问题? 2模型的假设与符号说明 21模型的假设 1.忽略其他金属污染物对土壤造成的污染 2.仝区土壤的特性相同,如酸碱值、含水量、土壤颗粒大小等. 3.每个采样点的数据能代表该取样区域(1平方公里)的重金属浓度 4.所取表层土壤(0^10厘米深度)中重金属的浓度能够代表该取样点的基本重金属 浓度 5.那些远离人群及工业活动的白然区没有受到重金属的污染,其背景值能够作为标 准值使用 22符号说明 C1表示某种重金属的实测浓度(或8); g S某重金属的背景值 3问题的分析 对问题(1),首先为了使分析的数据真实可靠,需对数据进行异常值处理;然后通过 研究8种金属元素的浓度的均值、标准差等对数据进行描述性分析;最后采用综合分析 法对重金属进行了污染程度分析. 对问题②),在问题(1)初步分析的基础上,用曲面插值的方法来补充原始采样数据较 少的不足,并用插值后的数据画出城区的地形二维图、重金属浓度二维分布图;为了分 析重金属来源是否和Z轴相关,将重金属浓度作为颜色涂在城区地形三维图上得到重金 属浓度在地形分布的类四维图;为了初步确定重金属污染物的主要原因,结合物理学场 中等势线的概念,将插值后的数据中重金属浓度相同的点,用标有浓度数值的线链接起 来,作为重金属浓度等势图:结合重金属浓度等势图和城市功能区分布得到待测污染源 的大致中心,再根据待测污染源厝围的功能区分布确定污染的具体来源.最后综合8科 重金属的污染的来源,最终确定重金属污染的主要原因. 对问题(③),通过上述对问题分析的结果,本文可以得到每种重金属元素的浓度关于 变化的等势图,根据该竽势图能够清埜的看岀污染源向外扩散的过程,并且能够得到待 测污染源的位置.本文模型Ⅰ采用等标污染负荷模型对待测污染源进行殓证;模型IⅠ从 重金属浓度的等势图中筛选出污染源覆盖的采样点,将其导入lsOt软件中进行曲线拟 合,得到相应污染点的拟合方程.通过求这些方程的最大值点对应的x,y坐标就可确定 出污染源屮心的位置. 对问题(4,为了更好地研究城市地质环境的演变模式,我们首先要弄清城市地质环 境的定乂是什么.思路一:土壤环境是地质环境的一部分,本文以深入研究土壤重金属 污染来分析城市地质环境的演变模式.思路二:选取城市地质环境的另元素的演变模 式来深入研究城市地质环境的演变模式 4模型的建立与求解 41问题1)的模型建立与求解 411重金属元素空间分布的简单描述 1.对异常值的研究 异常值是指所给数据屮有的值过小或过大的现象.异常值可能是由于土壤采样、化验 和分析过程中的操作错误或条件改变所引起的.由于异常值的存在会掩盖变量固有的空 间特征结构,给问题的分析带来很大的影响,所以应该先对数据进行过大或过小值的判 别 判别的方法:样本的平均值a加减三倍的标准差s的绝对值,即±3s.如果数据的 值在士3区间内则为正常值,否则为异常值 根据异常值的处理方法对数据行进研究得到:店的浓度的均值为299.71,而标准 差为1629.5233,从而Hg的正常值的范围是[0,51882799,而所给数据中有四个样本 远远高于该正常值.该四点的坐标分别为(4592,4603,6),(2486,5999,2), (11482,6354,61)和(22176,5492,25),可以看出,前两点分布较集中,后两点分布较集 中,说明该异常值不是人为的测量误差所导致,故该异常值不能舍去,它对Hg的含量 及分布的研究有非常重要的意义,该点有可能是污染源 2.对8种主要重金属元素的描述性分析 (1)As的描述性分析 表格1重金属A含量统计结果分析表 研究区样本个 数 最小值最大值均值标准差偏度峰度变异系 数 背景值 全区 319 1.61 30.135.70 3.04 19250.5318~5.4 23411.456.27 2.15 0.42 0190.3418-54 2区 36 1.6 21.87745425 1.563.350.5718-54 3区 66 1.77 10.99404 l.80 1.65 3.160.4518~5.4 4区 138 1.61 30.13 5.70 3.24 46630.080.571.8-54 5区 35 2.77 11.68 6.26 2.02 0530.73 0.3218~5.4 出表格1知,重金属As的空间分布特征并不明显.As的含量范围是1.6130.13ug/g, 其高值岀现在2区(工业区)和4区(交通区).各区均值与背景值相差不大,说明该 城市重金属As的污染并不严重 (2)Cd的描述性分析 表格2重金属Cd含量统计结果分析表 数最小值最大值均值标准差|偏度峰度变异系 研究样本个 区 数 背景值 全区31940.001619803017122:822.045.690.7570-190 1区 44 86801044.5028996183.682086.170.6370~190 3611.501092.90387.04238421.73.090.6270-190 66 40.00407.60152.3278.381.382.060.5170190 13850.10161980360.01243391905.5706870-190 5区359-201024.9028054235.842.023540.8470-190 由表格2知,重金属Cd的含量范围为40.00~1619.80ug/g,其高值地区主要集中 在1区(生活区)、2区(工业区)4区(交通区)和5区(公园绿地区),即只有3区 (山区)的均值落入背景值范围内.全区Cd含量的最大值为背景值的8^23倍,其最大 值出现在4区(交通区) (3)C、C、四、M、乃和加的描述性分析(含量统计结果分析表见附录 重金属Cx的空间分布特征并不十分明显,Cr含量的范围为15.32920.8ug/g,其 高值出现在1区(生活区),2区(工业区)和4区(交通区)的部分地区 重金属Cu的含量范围为2.29~2528.48ug/g,其高值地区主要集中在2区(工业区) 和4区(交通区).五区中只有3区(山区)的均值落入背景值范围内,但其最大值仍是 背景值的3倍,说明重金属Cu在该城市均有不同程度的污染. 重金属1g的空间分布特征十分明显,其含量范围为8.5716000.00ug/g,且全区标 准差为1629.52,说明B的分布及其不均匀,其高值地区主要集中在2区(工业区)和4 区(交通区),且这两区的标准差也非常大,说明/集中分布在2区(工业区)和4区(交 通区)的部分地区 重金属M的空间分布特征并不明显,M的含量范围是4.27142.50ug/g,其高值 出现在3区(山区)和4区(交通区).各区均值均在背景值沱围内,但各区最大值均高于 背景值,说明该城市重金属As的污染并不严重. 重金属乃的含量范围为19.68472.48ug/g,其高值地区主要集屮在1区(生活区) 和2区(工业区).区中只有3区(山区)的均值落入背景值范围内,但其最大值仍是背 景值的3倍,说明重金属P在该城市均有不同程度的污染 重金属的含量范围是32.863760.82ug/g,其高值地区主要集中在1区(生活区), 2区(工业区)和4区(交通区).五区中只有3区(山区)的均值落入背景值范围内,但其最 大值仍是背景值的3倍,说明重金属Zn在该城市均有不同程度的污染. (4)各城区的海拔分布 海拔 00 70 110 功能区 图1箱图 由图1知,全区绝大部分地区均处在0~100米的海拔范围内.各区的平均海拔高低比 较为:2区工业区<1区生活区<4区交通区<5区公园绿地区<3区山区 (5)对变异系数的分析 变异系数是表征样本问变异程度的重要参数.变异系数<0.1为弱变异:变异系数 =0.10.3为中等变异:变异系数>0.3为强变异.仝区上壤样品中8种重金属的含量差异 很大,如表4-1到4-8.变异系数排序依次为:AsM<PrP<Cr<C作g分别 0.53,0.58,0.75,0.81,L.31,1.69,2.96,5.43.这些重金属含量的变异系数均高于0.3, 变异越大说明十壤重金属污染受人为活动干扰越强烈,或者可以理解为污染程度越大 2.对该城区地理环境的分析 为了更为形象地说明重金属污染物在该城区的空间变化,本文通过Mtab做三维地 形图来还原该城区的地形. Matlab通过离散的点画三维立体图的具体过程为:数据插值, 过滤无效插值点,画三维地形图 插值是常用的数学运算,通常是利用曲线拟合的方法,通过离散的采样点建立个 连续函数来逼近真实曲线,用这个重建的函数便可以求出任意的函数值.设已知函数值 为v, 则未知点x的函数值可以通过插值表示为: f(x)=∑vh(x-x 其中h()为插值核函数,w为权系数插值算法的数值精度及计算量与插值核函数 有关,插值函数的设计是插值算法的核心.这里本文用Mawb提供的 Matlab version4 插值算法,具体解释如表Ⅹ: 表格3插值建模过程 步骤 图形 描述 右图为采样数 据在XOY平面 300 4去女计 的投影.要画 采样点离散三维分 三维立体图 烷100 则必须将XOY 0 0.5 的数据网格 化.一些未采 22.53 集到的点就要 m X10 用插值的值代 采样数据在三维散点图 采样数据在XOY轴的投影 替 左图为原始数 据插值后画出 的散点图.原 2 离散数据捅值 始数据经过插 值由原先的 -200 319个变成 x10 10000个.但 有一些插值数 插值后数据二维散点图插值后数据二维网格图据无意义 经过初步过 过滤无效插 300 滤,去掉了 0 些第2步插值 100 数据的明显错 0 误.我们用此 安 x10 数据作为下面 据 y(m) 分析的依据. 过滤后数据三维散点图 过滤后数据网格图 通过表2过上述3步后,我们不仅可以画出该城区的三维地形图,而且可以画出该 城区各重金属污染物随F变化的三维立体图,这样就可以从重金属污染三维分布图 :直观地看出哪个区域重金属含量最高,从而找出重金属污染源的大体位置.此外,我 们还可以将重金属的浓度作为颜色涂在该城区三维地形图上,通过此方法可以做出重金 属含量随F,},z分布的类四维图像,来看出重金属污染物在该城区扩散的图像 下面为了说明问题方便,画出该城区三维地形图,二维地图,并做出一些规定 地形三绘图 X(r 图2城区地形三维图 如图2为该城区的三维地形分布图,右边的颜色条大致标注了该城区三维图上各点 的海拔.用SPSS分析该城区海拔的数字特征可知海拔平均值42.46m,标准差43.84, 由丘陵的定义(海拔在200米-500米之间;坡度较缓;主要由低矮的山地组成),可知 该城区在地形上属于丘陵城区.卜面本文将上图向XOY平面上压缩到平面图,并用等高 线标注海拔高度相同的区域得到图3,右边的颜色条同样大体注明了等高线所处的海拔 本文规定,Y轴的正方向为北,X轴的正方向为东,来简化下面的说明 地形等势图 300 生活区 1.8 工业区 150 山区 1.6 父通区 250 1.4 公园绿地区 1.2 200 分 08 < 0.6 100 02 0.5 1.5 2.5 3 x(m) X10 图3带等高线的城区地图 此外本文将所有采样点按其不同功能分类,并用不同颜色的不同符号加以标小,如 表格4 表格4各功能区的符号定义 功能区名称 符号 符号名称 颜色 生活区 下三角 紫红色 工业区 △ 上三角 蓝绿色 山区 左三角 父通区 右三角 绿色 公园绿城区 ☆ 五角星 利用 Excel对样本采集区的频数进行统计的到表格5: 表格5城区采样点功能频率分布 生活区 工业区 山区 交通区公园绿城区 频数 66 138 匚比例%13.79 20. 43.26 10.97 由于采样方法是将城区划分为间距为1公里左右的网格了区域,采样点的功能频率 分布可以反映出此城区的一些信息、如表4-2,可知此城区交通发达,多山,有一定工业 化,城市绿化不足.从图4-4,看出此城区的工业区大部分集中在西北方向;山区主要在 东北方向,并从地形图4-2知,山势在东北方向有增的趋势;交通区分布广泛;大多数 生活区靠近交通区,有一些生活区在西北方向,紧挨着工业区,为职工的居住地,还有 些生活区距离公园绿地区比较近,可能为小区;公园绿地区一部分集中在西北角,另 部分零散的分布在城市中心线上 3.重金属的空间分布 根据附录X中的图形,得出以下结论: 表格68种重金属元素在该城区的空间分布 重余属元素 As Cd Cr Cl 该金属在城区「该金属在城区|该金属的分布该金属的分布 的分布十分广“的分布十分广十分集中,主十分集中,几 泛,在山区有泛,在大部分要都分布在西乎全部分布在 两个分布较为工业区都有集北方向的工业西北方向的 集中的位置,中现象,在山区中,而且分个工业区和居 空间分布在北方的一区该金属的分布十分集中在民区,在T业 个生活区分布布范围较小,山区和交通区的值相对铰 也较集中该金但在山区的某区,该金属也高,分布也较 属在交通区分些方位也有该有少量的分布.生活区的集中 布十分均衡且金属的聚集现 象 表格78种重金属元素在该城区的空间分布(续表) 重金属元素 Hg Ni Ph 该金属的分布该金属的分布该金属的分布该金属的分布 较为集中,只较为广泛,只十分广泛,尤较为集中,只 在西北和北部在西北方向的其是在西北方在全区大部分 还有中部三个一个生活区分向的工业区,的工业区有分 空间分布交通区和生活布十分集中在集中现象十分布,其值也相 区的交界处分山区中有两处明显,浓度值对较为集中在 布,并且分布位置的值比较和其他区域相西北方向的T 得都很集中.高分布也较为比也十分高.业区,该金属 集中 的分布最为广 泛 412不同区域重金属的污染程度 1综合指数法 综合指数法即内梅罗指数法,是进行多土壤重金属污染评价的综合方法, 计算公式为 P_(avg(e)2 +(max(p) 式中P为综合污染指数,P为各种所测金属的单因子指数评价值,ag(P)为土壤中各 种重金属单因子评价的平均值,max(P)为土壤中重金属元素单因子评价的最大值 P的计算公式为:C 表格β土壤综合污染指数评价标准 等级 综合污染指数 亏染程度 P≤0.7 清洁(安全) 0.7<P≤1.0 尚清洁(警戒线) 1.0<P<2.0 轻度污染 Ⅳ 0<P<3.0 中度污染 P>3.0 重度污染 用 Excel对数据趔行处理得到各区的综合评价污染指数如表9: 表格9综合污染评价结果 重金属」AsCa C Cu 全区6.022748.962772039691354794323.3056825200110.868853859569 1类区2473613852383.84235610.252285.386621.89328938513158.689223 2类区320303968103012426859663613238.53012.1592926,7137871.82056 3类区1.1946681.2762451.4272691.5302641.27362814260901.2892251.095788 4类区2.1017035.76572281125116.0578711559721.76916333048399106221 5类区24690083.6294581.7186094.037354797850214023213.044913.870835 从表屮可以看出,该城区重金属污染情况十分严重,Cu和Hg的综合指数更是高达 10

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