初三中考复习二次函数最值问题.pdf

在初中数学，特别是中考复习阶段，二次函数的最值问题是重要的考点之一。二次函数的一般形式为 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。解决这类问题通常遵循以下四个步骤： 1. 审题：理解题目要求，明确问题背景，分析各量之间的关系。例如，如果是利润最值问题，我们需要找出利润与单价之间的关系，构建二次函数模型。 2. 列数学表达式：根据问题的具体情况，建立二次函数关系式。这可能涉及到总利润、总成本、销售数量等因素，如 \( P = (p - c)Q \)，其中 \( P \) 是总利润，\( p \) 是单价，\( c \) 是成本，\( Q \) 是销售数量。 3. 求值：利用二次函数的性质求最值。如果 \( a > 0 \)，函数图像是开口向上的抛物线，顶点坐标 \( (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) \) 表示函数的最小值；如果 \( a < 0 \)，则函数有最大值。顶点坐标公式也可以通过配方法得到，即将 \( y = ax^2 + bx + c \) 配方为 \( y = a(x - h)^2 + k \)，其中 \( h \) 是对称轴的 x 坐标，\( k \) 是顶点的 y 坐标。 4. 检验：确保解出的最值符合实际问题的自变量取值范围，例如，价格不能为负，销售数量不能为负等。 除了利润问题，二次函数的最值问题还常见于线段和或差（或三角形周长）的最值问题。解决这类问题时，可以利用轴对称性找到最短距离，如利用勾股定理或两点间距离公式，或者通过平移和轴对称的知识来处理固定线段长度的问题。对于线段长最值问题，可以借助两点间的距离公式 \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) 来建立二次函数模型。对于几何面积的最值问题，可以借助三角形相似、对应线段成比例、割补法或平行线等方法，转化成二次函数关系，并找到顶点坐标来确定面积的最值。 动点产生的最值问题通常涉及动态几何，可以通过数形结合的方法，将问题转化为时间与距离的关系，当三个点共线时，可能出现最值。 解决二次函数最值问题的关键在于正确地构建数学模型，灵活应用二次函数的性质，以及注意实际问题的约束条件。通过大量练习和理解这些基本解题步骤，学生可以更好地应对中考中的这类问题。