§1 问题简述
在日地连线的延长线上有唯一一点 L
2
, 在该点上太阳和地球的引力与绕
日公转的惯性力恰好平衡. 从而使得在理想情况下, 放置到该点的物体能够
与地球同周期地绕日公转, 即与日地保持相对静止. 因为置于 L
2
点的物体可
以保持背向太阳和地球的方位, 易于保护和校准, 所以 L
2
点通常用于防置空
间天文台. Wilkinson 微波各向异性探测器 (WMAP) 已经围绕日地系统的 L
2
点运行, James Weber 太空望远镜也将要被放置在日地系统的 L
2
点上. L
2
点
在天文学上具有重要的意义.[1]
现假设有一航天器, 配备有一张很大的太阳帆, 停留在靠近 L
2
的一个平
衡点上, 在该点上太阳和地球的引力、太阳风对太阳帆的推力和绕日公转的
离心力恰好平衡 (如图 1). 但该点是一个不稳定平衡点, 现须使太阳帆相对于
日地连线的法线方向偏转一个小的角度 θ, 并对其进行控制, 从而能够使该航
天器长期稳定在该平衡点附近.[2]
θ
To Sun
n
x
Equil. pt.
L
2
Earth
cθ
Solar Sail
图 1 L
2
点附近配备有太阳帆的太空船示意图
§2 数学模型
对上述系统建立坐标系, 以该航天器的理想位置 (即平衡点) 为坐标原
点, 以日地连线方向为 x 轴正方向, 以地球公转线速度方向为 y 轴正方向 (如
图 1 所示). 显然, 该坐标系为非惯性坐标系, 航天器的加速度可由太阳和地
球的它的引力、太阳帆的推力以及惯性离心力分别引起的加速度构成. 据此,
对航天器进行运动学建模, 并且在坐标原点附近作线性近似, 可得如下运动学
方程 [2]
¨x(t) = 2 ˙y(t) + b
1
x(t)
¨y(t) = −2 ˙x(t) − b
2
y(t) + cθ(t)
(1)
其中, (x, y) 的单位为 1.51 × 10
6
km (即地球到 L
2
点之间的距离), 时间单位
为 1/n (n = 地球绕日旋转的角速度), b
1
, b
2
, c 为正常数. 在一个实际的航天
器的设计研究中 (S. H. Hur 与 B. Pervan, 1991), b
1
、b
2
和 c 的取值分别为
12.762, 4.914 和 1.948, 该航天器所在的平衡点距地球距离比 L
2
点近 16%, 在
本文的研究中也采用上述数据 [2].
2
