最小费用最大流理论是运筹学中的一个经典问题，它结合了最大流问题和最小费用问题，用于解决在有限的网络资源下，如何以最低的总成本输送最大的流量。这个理论广泛应用于物流、通信网络、电力系统调度等领域，旨在优化资源配置，降低成本。
福特-富克森（Ford-Fulkerson）算法是解决最小费用最大流问题的一种基础方法。它的基本思想是通过不断寻找增广路径来逐步增加流的大小，直到达到最大流。在每次迭代中，算法会寻找当前网络中的最小费用增广路径，即单位流量费用最低的路径，并沿着这条路径增加流量，直至无法找到这样的路径为止。这个过程中，随着流量的增加，路径上的费用也会相应更新。
具体来说，福特-富克森算法包括以下步骤：
1. 初始化：设置一个空的可行流，所有边的流量为0。
2. 检查当前流量是否达到目标流量或网络的容量限制，如果是，则结束；否则，继续执行下一步。
3. 构建一个新的费用有向图，其中边的费用包括原费用和增加单位流量所需的额外费用。
4. 使用最短路径算法（如弗洛伊德算法）找到源点到汇点的最小费用路径。
5. 沿着找到的最短路径增加流量，直到路径的容量耗尽。
6. 更新路径上边的费用和容量，然后返回步骤3。
在提供的代码示例中，可以看到一个C语言实现的福特-富克森算法。程序首先读取网络的容量和费用数据，然后通过调用Floyd算法计算最短路径。当找到一条最小费用的增广路径时，就更新路径上的流量和费用，并重复这个过程，直到没有最小费用路径可寻，此时得到的就是最小费用最大流。
需要注意的是，福特-富克森算法可能会因为存在负权边而导致循环，因此在实际应用中通常需要确保费用图中不存在负费用环。如果网络中存在负费用，可以先对费用进行调整，例如加上一个大的常数，使得所有费用变为非负。
在实际问题中，最小费用最大流算法的应用非常广泛，例如在设计最经济的运输方案、规划网络带宽分配、解决水资源调度等问题时，都能看到它的身影。通过优化这些网络的流量分布，可以显著降低运营成本，提高效率。
