最小费用最大流模板

最小费用最大流问题是一个在图论中的经典优化问题，它结合了最大流问题与最短路径问题。在图中，每个边不仅有容量限制，还有与之相关的费用。目标是在不超出任何边的容量限制的前提下，找到从源点到汇点的最大流量，同时使总的费用最小。 在提供的代码中，实现了一个最小费用最大流的模板，主要包含以下几个部分： 1. **数据结构**：定义了用于表示图的各种数据结构，如`first`、`next`、`u`、`v`、`w`、`c`、`lc`、`com`等。其中，`u`和`v`存储边的两个端点，`w`存储边的费用，`c`存储边的容量，`lc`存储残留容量，`com`存储反向边的编号。 2. **初始化函数**：`init()`用于初始化图的结构，将所有节点的初始连接设置为-1。 3. **添加边的函数**：`addEdge()`函数用于添加边，可以处理有向和无向边，同时记录反向边的信息。 4. **最短路径优先队列算法（SPFA）**：`spfa()`函数采用SPFA算法来寻找从源点到汇点的最短路径。它使用一个队列进行广度优先搜索，并维护每个节点的最短路径成本和前驱节点信息。 5. **更新残留网络**：`update()`函数在找到一条增广路径后，更新残留网络的容量和总费用。 6. **最小费用最大流计算**：`minCost()`函数是核心函数，它反复调用`spfa()`和`update()`，直到无法找到新的增广路径，最终返回最小费用。 7. **主程序**：在`main()`函数中，读取输入数据，构建网络，然后调用`minCost()`计算最小费用最大流。 在给出的示例中，`need[i][k]`和`supply[j][k]`分别表示第i个供应者能提供第k类商品的数量和第j个消费者对第k类商品的需求量。通过这些数据，我们可以构建一个网络，其中供应者作为源点，消费者作为汇点，商品种类作为中间节点。每条边的容量根据供应者和消费者之间的供需关系设定，费用可以设置为0，代表无费用或已包含在供需关系中。 总结来说，这个模板实现了一个基于SPFA算法的最小费用最大流问题求解器，适用于处理具有费用和容量限制的网络流问题。在实际应用中，这样的算法可以应用于物流、电力分配、网络带宽分配等需要考虑成本和最大能力的问题。