杨辉三角
简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了
这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
…………………………………………………………
杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。
杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。具体的用
杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
时间上:杨辉(一二六一)朱世杰(一三○三)也明显就可以知道是杨辉发现的
朱世杰只是扩充了其中的内容
同时 这也是多项式(a+b)^n 打开括号后的各个项的二次项系数的规律 即为
因此 杨辉三角第x层第y项直接就是 （y nCr x）
我们也不难得到 第x层的所有项的总和 为 2^(x-1) (即(a+b)^x中a,b都为1的时候)
[ 上述y^x 指 y的 x次方;(a nCr b) 指 组合数]
而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫你找规律。
在国外,这也叫做"帕斯卡三角形".
S1：这些数排列的形状像等腰三角形，两腰上的数都是1
S2：从右往左斜着看,从左往右斜着看，和前面的看法一样。我发现这个数列是左右对称的。
S3：上面两个数之和就是下面的一行的数。
S4：这行数是第几行，就是第二个数加一。……
幻方，在我国也称纵横图，它的神奇特点吸引了无数人对它的痴迷。从我国古代的“河出图，洛出书，圣人则之”的传说起，系统研究幻方的第一人，当数我国古代数学家——杨辉。
杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位。
杨辉对幻方的研究源于一个小故事。当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地I 做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题。原来，这个孩童在算一位老先生出的一道趣题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15。
杨辉看到这个算题， 时想起来他在西汉学者戴德编纂的《大戴礼》一书中也
见过。杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了。
后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来。老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”’杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样。便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的?”老先生说不知
道。
杨辉回到家中，反复琢磨。一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：先把l～9九个数依次斜排，再把上l下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了。
杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。
在信息领域杨辉三角也起着重要作用。
关于杨辉三角的实际操作运用范例
对于杨辉三角，很多初中生，甚至很多高中生只知道此三角中的某数等于它上排向另两数之和，而忽视了杨辉三角的实际运用。
不难发现，除了上述特点外，杨辉三角还有另一个特点：
此数列中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后，展开始终各项的系数。如：
(a+b)^1=a^1+b^1
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
..............
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（注意发现规律）
..............
如此一来，对于普通考试中所出现的高系数运算的展开运算，我们就不必因怕运算出错而担忧了。但这只是类似公式的技法，想要运算能力增强，还是一个一个拆着练吧。
另外，文章开头提到的“贾宪三角”和“杨辉三角”是有区别的。只需将杨辉三角顺时针旋转45度，便得到贾宪三角，如下：
1 1 1 1 1 1 1 1
7 6 5 4 3 2 1
21 15 10 6 3 1
35 20 10 4 1
35 15 5 1
21 6 1
7 1
1
这些数列，能有效地运用于解数字系数的高次方程。无论是在几何、代数还是三角函数中，上述方法都能不同程度的提高解题效率。
附：杨辉三角的前50行：
第 1 行：
1
第 2 行：
1 1
第 3 行：
1 2 1
第 4 行：
1 3 3 1
第 5 行：
1 4 6 4 1
第 6 行：
1 5 10 10 5 1
第 7 行：
1 6 15 20 15 6 1
第 8 行：
1 7 21 35 35 21 7 1
第 9 行：
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行：
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
第 11 行：
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
第 12 行：
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
第 13 行：
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
第 14 行：
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
第 15 行：
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
第 16 行：
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15
1
第 17 行：
1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560
120 16 1
第 18 行：
1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188
2380 680 136 17 1
第 19 行：
1 18 153 816 3060 8568 18564 31824 43758 48620 43758 31824 18564
8568 3060 816 153 18 1
第 20 行：
1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378 92378 75582 50388
27132 11628 3876 969 171 19 1
第 21 行：
1 20 190 1140 4845 15504 38760 77520 125970 167960 184756 167960
125970 77520 38760 15504 4845 1140 190 20 1
第 22 行：
1 21 210 1330 5985 20349 54264 116280 203490 293930 352716 352716
293930 203490 116280 54264 20349 5985 1330 210 21 1
第 23 行：
1 22 231 1540 7315 26334 74613 170544 319770 497420 646646 705432
646646 497420 319770 170544 74613 26334 7315 1540 231 22 1
第 24 行：
1 23 253 1771 8855 33649 100947 245157 490314 817190 1144066
1352078 1352078 1144066 817190 490314 245157 100947 33649 8855 1771
253 23 1
第 25 行：
1 24 276 2024 10626 42504 134596 346104 735471 1307504 1961256
2496144 2704156 2496144 1961256 1307504 735471 346104 134596 42504
10626 2024 276 24 1
第 26 行：
1 25 300 2300 12650 53130 177100 480700 1081575 2042975 3268760
4457400 5200300 5200300 4457400 3268760 2042975 1081575 480700 177100
53130 12650 2300 300 25 1
第 27 行：
1 26 325 2600 14950 65780 230230 657800 1562275 3124550 5311735
7726160 9657700 10400600 9657700 7726160 5311735 3124550 1562275
657800 230230 65780 14950 2600 325 26 1
第 28 行：
1 27 351 2925 17550 80730 296010 888030 2220075 4686825 8436285
13037895 17383860 20058300 20058300 17383860 13037895 8436285 4686825
2220075 888030 296010 80730 17550 2925 351 27 1
第 29 行：
1 28 378 3276 20475 98280 376740 1184040 3108105 6906900 13123110
21474180 30421755 37442160 40116600 37442160 30421755 21474180 13123110
6906900 3108105 1184040 376740 98280 20475 3276 378 28 1
第 30 行：
1 29 406 3654 23751 118755 475020 1560780 4292145 10015005 20030010
34597290 51895935 67863915 77558760 77558760 67863915 51895935 34597290
20030010 10015005 4292145 1560780 475020 118755 23751 3654 406 29 1
第 31 行：
1 30 435 4060 27405 142506 593775 2035800 5852925 14307150 30045015
54627300 86493225 119759850 145422675 155117520 145422675 119759850
86493225 54627300 30045015 14307150 5852925 2035800 593775 142506
27405 4060 435 30 1
第 32 行：
1 31 465 4495 31465 16
学C++的一些小程序（贯穿整个学习C++过程的多个小程序）
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2009-01-07
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函数的重载.cpp 4KB 函数模.cpp 4KB 典型的例子.cpp 2KB fration.cpp 2KB 对象数组.cpp 2KB 构造函数和析构函数.cpp 2KB 运算符重载-重载流插入运算符.cpp 2KB 类模板.cpp 1KB 在输入流和输出流中使用控制符.cpp 1KB 派生类的声明.cpp 1KB 虚函数.cpp 1KB 运算符重载.cpp 1KB 3.cpp 1KB 多重继承.cpp 1KB 2.cpp 1KB get函数.cpp 1KB 内置函数.cpp 1KB 类的简单例子2.cpp 1011B 求一元二次方程式.cpp 1002B 派生类的保护继承.cpp 975B 类的简单例子1.cpp 926B 1.cpp 866B 教师和学生.cpp 825B 运算符重载-重载单目运算符.cpp 801B 友元成员函数.cpp 796B 运算符重载-友元函数.cpp 770B 杨辉三角.cpp 744B 继承的构造函数和析构函数.cpp 738B 3个长方柱的体积.cpp 673B 求三角形的面积.cpp 672B 友元函数.cpp 669B 指向对象成员函数的指针.cpp 631B 运算符重载-类成员函数.cpp 599B 判断某一年是否为闰年.cpp 557B 将磁盘文件内容读入内存的专用函数.cpp 540B 友元类.cpp 497B 多重继承引起的二义性问题.cpp 495B getline函数.cpp 460B DateTimeType.cpp 454B DateTimeType.cpp 452B Fibonacci数列.cpp 442B 对ASCII文件的操作.cpp 429B 测试cin的真值.cpp 416B student.cpp 352B 自定义时间类TimeType.cpp 344B main.cpp 275B 流成员函数put输出字符.cpp 204B 类声明和成员函数定义的分离.cpp 180B 将磁盘文件内容读入内存的专用函数.dsp 4KB 类声明和成员函数定义的分离.dsp 4KB 在输入流和输出流中使用控制符.dsp 4KB 运算符重载-重载流插入运算符.dsp 4KB 运算符重载-重载单目运算符.dsp 4KB 继承的构造函数和析构函数.dsp 4KB 多重继承引起的二义性问题.dsp 4KB 指向对象成员函数的指针.dsp 4KB 流成员函数put输出字符.dsp 3KB 运算符重载-类成员函数.dsp 3KB 自定义时间类TimeType.dsp 3KB 判断某一年是否为闰年.dsp 3KB 运算符重载-友元函数.dsp 3KB 构造函数和析构函数.dsp 3KB DateTimeType.dsp 3KB 对ASCII文件的操作.dsp 3KB 求一元二次方程式.dsp 3KB 派生类的保护继承.dsp 3KB 3个长方柱的体积.dsp 3KB 求三角形的面积.dsp 3KB Fibonacci数列.dsp 3KB 测试cin的真值.dsp 3KB 类的简单例子1.dsp 3KB 类的简单例子2.dsp 3KB 派生类的声明.dsp 3KB 友元成员函数.dsp 3KB DateTimeType.dsp 3KB getline函数.dsp 3KB 典型的例子.dsp 3KB 输入输出流.dsp 3KB 函数的重载.dsp 3KB 运算符重载.dsp 3KB 教师和学生.dsp 3KB 杨辉三角.dsp 3KB 对象数组.dsp 3KB 内置函数.dsp 3KB 多重继承.dsp 3KB 友元函数.dsp 3KB get函数.dsp 3KB fration.dsp 3KB 虚函数.dsp 3KB 函数模.dsp 3KB 类模板.dsp 3KB main.dsp 3KB 1.dsp 3KB 3.dsp 3KB 2.dsp 3KB 将磁盘文件内容读入内存的专用函数.dsw 572B 在输入流和输出流中使用控制符.dsw 564B 运算符重载-重载流插入运算符.dsw 562B 类声明和成员函数定义的分离.dsw 560B 运算符重载-重载单目运算符.dsw 558B共 308 条
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