根据提供的文档信息，我们可以归纳和扩展出以下几个关键的知识点：
### 一、复数列的极限
#### 定义：
复数列\(\{z_n\}\)收敛于复数\(z\)，如果对于任意\(\varepsilon > 0\)，存在正整数\(N\)，使得当\(n > N\)时，都有
\[|z_n - z| < \varepsilon\]
这里\(z_n = x_n + iy_n\)，\(z = x + iy\)，其中\(x_n, y_n, x, y\)均为实数。
#### 性质：
- **实部与虚部的收敛性**：复数列\(\{z_n\}\)收敛于复数\(z\)的充要条件是其实部序列\(\{x_n\}\)收敛于\(x\)，且虚部序列\(\{y_n\}\)收敛于\(y\)。
- **与实数列极限的相似性**：复数列极限的性质与实数列极限的性质相似，因此可以利用实数列极限的性质来处理复数列极限的问题。
### 二、复数项级数
#### 定义：
形如\(\sum_{n=1}^{\infty} z_n\)的级数称为复数项级数，其中每个\(z_n\)都是一个复数。
#### 敛散性的判定：
- **复数项级数的敛散性**：复数项级数\(\sum_{n=1}^{\infty} z_n\)收敛的充要条件是级数\(\sum_{n=1}^{\infty} x_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty} y_n\)都收敛（其中\(z_n = x_n + iy_n\)）。
- **绝对收敛**：如果\(\sum_{n=1}^{\infty} |z_n|\)收敛，则称原级数绝对收敛。
- **绝对收敛准则**：一个复数项级数绝对收敛，则该级数必定收敛。
### 三、幂级数
#### 定义：
幂级数的一般形式为\(\sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-a)^n\)，其中\(c_n\)是系数，\(a\)是固定的复数。
#### 收敛性：
- **局部绝对收敛**：如果幂级数在某一点\(z_0\)处收敛，则它在以\(z_0\)为中心的某个圆盘内绝对收敛。
- **阿贝尔定理**：如果幂级数在某点\(z_0\)处收敛，则它在其邻域内绝对收敛；反之，如果在某点\(z_0\)处发散，则在以\(z_0\)为中心的某个圆周外的所有点都发散。
- **收敛半径**：幂级数的收敛半径\(R\)是使得幂级数在圆盘\(|z-a| < R\)内绝对收敛，并且在圆周\(|z-a| = R\)外发散的最大正实数。收敛圆盘\(|z-a| < R\)称为收敛圆。
#### 求收敛半径的方法：
- **比值法**：如果\(\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = L\)存在，则收敛半径\(R = \frac{1}{L}\)。
- **根值法**：如果\(\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = L\)存在，则收敛半径\(R = \frac{1}{L}\)。
- **柯西-阿达玛公式**：如果\(\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = L\)存在，则收敛半径\(R = \frac{1}{L}\)。
通过上述内容可以看出，复变函数中的级数理论主要关注于复数列的极限、复数项级数的敛散性和幂级数的收敛性及其收敛半径的求解方法。这些理论不仅是复变函数的基础，也是深入研究复分析和其他数学分支的重要工具。
