ii
CONTENTS
3.5 Summary of the Proof Recipes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 Some Strategic Guidelines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7 Reasoning and Computation with Primes . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 Sets, Types and Lists 113
4.1 Let’s Talk About Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2 Paradoxes, Types and Type Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.3 Special Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 Algebra of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Pairs and Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Lists and List Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.7 List Comprehension and Database Query . . . . . . . . . . . . . 145
4.8 Using Lists to Represent Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.9 A Data Type for Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.10 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 Relations 161
5.1 The Notion of a Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2 Properties of Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.3 Implementing Relations as Sets of Pairs . . . . . . . . . . . . . . 175
5.4 Implementing Relations as Characteristic Functions . . . . . . . . 182
5.5 Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.6 Equivalence Classes and Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.7 Integer Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.8 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6 Functions 205
6.1 Basic Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.2 Surjections, Injections, Bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.3 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.4 Inverse Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.5 Partial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.6 Functions as Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.7 Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.8 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.9 Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7 Induction and Recursion 239
7.1 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
7.2 Recursion over the Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.3 The Nature of Recursive Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . 251
