最长公共上升子序列(LCIS)的平方算法

### 最长公共上升子序列（LCIS）的平方算法详解 #### 一、引言 在计算机科学领域，最长公共上升子序列(Longest Common Increasing Subsequence, LCIS)问题是研究两个序列之间共同部分的一种方法。它结合了最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）与最长上升子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）的特点，是一种具有较高应用价值的问题。本文将详细介绍一种求解LCIS问题的时间复杂度为O(n^2)的算法，并通过具体步骤和实例帮助读者更好地理解这一算法。 #### 二、预备知识 在深入探讨LCIS问题之前，我们需要了解以下几个概念： 1. **动态规划**：一种将复杂问题分解成较简单的子问题，并将这些子问题的结果存储起来避免重复计算的方法。 2. **最长公共子序列 (LCS)**：对于两个序列A和B，它们的最长公共子序列是指两个序列共有的最长子序列。 3. **最长上升子序列 (LIS)**：对于一个序列S，其最长上升子序列是指S中的一个子序列，该子序列是严格递增的，且长度最长。 #### 三、问题定义 假设我们有两个字符串（或整数序列）a和b，我们的目标是找到这两个字符串（或序列）之间的最长公共上升子序列(LCIS)。 #### 四、状态定义与转移方程 为了求解LCIS问题，我们采用动态规划的思想。动态规划的核心在于状态定义以及状态转移方程的建立。 1. **状态定义**：设F[i][j]表示以字符串a的前i个字符和字符串b的前j个字符构建的最长公共上升子序列的长度，且这个子序列以b[j]为结尾。 - 这种状态定义的关键在于，它能够利用前面的计算结果快速得出当前的状态值，从而有效地减少了重复计算。 2. **状态转移方程**： - 当a[i] ≠ b[j]时，F[i][j] = F[i-1][j]。这是因为当前的字符a[i]无法与b[j]匹配，因此我们只需关注之前的字符序列。 - 当a[i] = b[j]时，F[i][j] = max(F[i-1][k])+1，其中1 <= k <= j-1且b[j] > b[k]。这里的目的是寻找以b[j]结尾的最长公共上升子序列，即当前的b[j]可以添加到以a[i]结尾的子序列中。 3. **优化策略**： - 为了避免重复计算，我们可以按特定的顺序遍历状态矩阵。具体来说，先固定a的索引i，再遍历b的所有可能索引j。在遍历过程中，可以维护一个最大值max，用来记录以a[i]结尾的最长公共上升子序列的长度。 - 每当遇到a[i] == b[j]的情况时，可以通过比较当前值和max值来更新F[i][j]。 4. **边界条件**： - 对于F[0][j] 和 F[i][0]，由于不存在任何公共子序列，因此它们的值均为0。 - 最终的答案位于F[len(a)][len(b)]，即a和b两个序列的LCIS长度。 #### 五、代码实现 下面给出了一段参考代码，用于解决LCIS问题： ```cpp #include <cstdio> #include <cstring> int f[1005][1005], a[1005], b[1005], i, j, t, n1, n2, max; int main() { scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%d%d", &n1, &n2); for (i = 1; i <= n1; i++) scanf("%d", &a[i]); for (i = 1; i <= n2; i++) scanf("%d", &b[i]); memset(f, 0, sizeof(f)); for (i = 1; i <= n1; i++) { max = 0; for (j = 1; j <= n2; j++) { f[i][j] = f[i-1][j]; if (a[i] > b[j] && max < f[i-1][j]) max = f[i-1][j]; if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max + 1; } } max = 0; for (i = 1; i <= n2; i++) if (max < f[n1][i]) max = f[n1][i]; printf("%d\n", max); } } ``` #### 六、总结 本篇文章详细介绍了如何求解最长公共上升子序列(LCIS)的平方算法。通过合理的状态定义和状态转移方程，我们可以有效地解决这个问题。此算法不仅能够应用于字符串匹配问题，还可以扩展到其他类似的问题场景中，具有较高的实用价值。 通过本文的学习，相信读者已经掌握了LCIS问题的基本概念及其求解方法。在未来的工作和学习中，这种技巧将会成为解决实际问题的强大工具。