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在随机过程理论中,我们研究的是随机变量序列随时间演变的行为。这个领域的核心概念包括相互独立的随机过程、随机过程的数字特征、有限维分布、Kolmogorov定理、平稳过程、独立增量过程以及Markov链等。下面我们将深入探讨这些概念。 1. **相互独立的随机过程**:当两个随机过程彼此之间的影响可以忽略不计时,我们称它们为相互独立。例如,红绿灯的变化和敲击键盘的动作是两个独立的随机过程,因为前者不会影响后者,反之亦然。 2. **随机过程的数字特征**:随机过程的关键数字特征包括均值、方差、自相关函数和自协方差函数。这些特征提供了对过程统计行为的深刻理解。例如,自协方差函数衡量了两个不同时间点上的随机变量之间的关联程度。 3. **Kolmogorov定理**:该定理指出,随机过程的有限维分布族足以完全描述过程的概率性质。它是建立随机过程理论的基础,用于证明过程的存在性和唯一性。 4. **平稳过程**:分为宽平稳和严平稳。严平稳过程要求所有阶的联合密度函数在时间平移下不变,而宽平稳过程仅要求均值和自相关函数不变。例如,白噪声是一个典型的宽平稳过程。 5. **独立增量过程**:如果随机过程在任意两个时间点之间的差分是独立的,那么它就是独立增量过程。随机游走虽然具有独立增量,但因其均值随时间改变,所以是非平稳的。 6. **Poisson过程**:Poisson过程是一种离散随机过程,事件发生的次数服从Poisson分布。它不是平稳过程,但可以是独立增量过程。例如,电话呼叫到达就是一个常见的Poisson过程例子。 7. **非齐次Poisson过程和复合Poisson过程**:非齐次Poisson过程的事件发生率随时间变化;复合Poisson过程是Poisson过程与另一个随机变量的乘积,使得事件的发生不再均匀。两者都不是简单的Poisson过程。 8. **Markov链**:Markov链是一个状态间的随机过程,其特性是当前状态只依赖于前一个状态,而不依赖于过去的所有历史。状态转移概率描述了从一个状态转移到另一个状态的可能性。Markov链可分为正则、不可约、周期和吸收等类型。 9. **C-K方程**(Chapman-Kolmogorov方程):这是计算多步转移概率的公式,揭示了Markov链的动态特性。 10. **Markov链的类**:状态被分为若干个类,同一类内的状态具有相同的长期行为。例如,赌博问题中的破产状态就是一类。 11. **Markov链的遍历性**:如果链满足遍历性,即对于足够长的时间,每个状态都将几乎必然被访问到,且存在唯一的平稳分布。遍历性是理解和模拟Markov链长期行为的关键。 12. **Markov链的平稳分布**:如果一个分布对于链的转移矩阵是不变的,那么它就是平稳分布。平稳分布的存在性可以通过Perron-Frobenius定理来判断,且在遍历链中是唯一的。 13. **Markov链的极限分布**:在遍历性条件下,长期观察到的分布就是极限分布,它等于平稳分布。 14. **布朗运动**和**维纳过程**:布朗运动是随机行走的一种特殊形式,具有连续路径和无穷微小跳跃的特性。维纳过程是布朗运动的数学模型,是金融学中Black-Scholes模型的基础。 15. **Ito过程**和**Ito积分**:Ito过程是随机微分方程中的一个重要概念,Ito积分是处理此类过程的工具。它们与布朗运动密切相关,是现代随机分析和金融工程的核心。 16. **Ito定理**:该定理提供了确定Ito过程函数的微分法则,是随机微积分的重要结果。 在无红利的股票市场中,股价的动态通常可以用扩散过程,如几何布朗运动来建模,这与随机过程理论密切相关,涉及到期权定价和风险评估等问题。通过这些理论,我们可以更深入地理解和预测金融市场中的随机行为。
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