非线性方程组的牛顿迭代法,最速下降法[借鉴].pdf

非线性方程组的求解是数值计算领域的一个重要问题，在软件开发中常常需要解决这类问题。牛顿迭代法和最速下降法是两种常用的数值优化方法，用于寻找非线性方程组的根或极小点。 牛顿迭代法是一种基于泰勒级数展开的迭代方法，适用于求解非线性方程组。对于多元函数 \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \)，牛顿法在点 \( x^{(k)} \) 处的迭代公式是： \[ x^{(k+1)} = x^{(k)} - [J(x^{(k)})]^{-1} f(x^{(k)}) \] 其中 \( J(x^{(k)}) \) 是函数 \( f \) 在 \( x^{(k)} \) 处的雅可比矩阵，\( f(x^{(k)}) \) 是函数在该点的值。雅可比矩阵的逆可以近似通过高斯-约旦消元法或迭代法求得。在MATLAB中，可以通过`f1.m`和`df1.m`两个函数分别定义非线性方程和其雅可比矩阵，然后使用`new_ton.m`函数进行迭代求解。实验结果表明，经过16次迭代，可以找到非线性方程组 \( f_1(x, y) = x^2 - 2x - y + 0.5 = 0 \) 和 \( f_2(x, y) = x^2 + 4y^2 - 4 = 0 \) 的一个解 \( x \approx -0.2222 \), \( y \approx 0.9938 \)。 最速下降法是优化问题中的经典算法，它沿着梯度的负方向寻找使目标函数最小的路径。在每次迭代中，步长因子 \( p_k \) 的选择至关重要，以确保函数值的减少。最速下降法的迭代公式是： \[ x^{(k+1)} = x^{(k)} - p_k \nabla f(x^{(k)}) \] 其中 \( \nabla f(x^{(k)}) \) 是目标函数在 \( x^{(k)} \) 处的梯度向量。在MATLAB中，可以通过`tidu_fuhao.m`定义梯度函数，然后结合适当的步长选取策略来实现最速下降法。 这两种方法在软件开发中都有广泛的应用，特别是在科学计算、机器学习、最优化问题等领域。不过，它们各自有优缺点：牛顿法通常更快且更稳定，但需要计算雅可比矩阵及其逆，对初始值敏感；而最速下降法则更简单，但收敛速度可能较慢。在实际应用中，常常需要根据具体问题和计算资源来选择合适的算法。