二阶偏微分方程的常规解与特殊解
本文主要讨论二阶偏微分方程的常规解与特殊解,着重于偏微分方程在物理学中的应用,尤其是对于弦振动和电磁波的研究。
常微分方程是指未知函数只含一个自变量的微分方程,而偏微分方程是指未知函数含有多个变量的微分方程。偏微分方程广泛应用于物理学、工程学和其他领域,用于描述复杂的物理现象。
在物理学中,偏微分方程用于描述温度、密度、速度、电场的引力等物理量,这些量不仅和时间有关系,而且和空间坐标也有联系。例如,对于介质的温度和密度,实际上是在一点的温度和密度是不存在的,而我们把在一点的温度和密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限,这就是理想化的。
弦振动是一种机械运动,弦并不是质点,所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而,如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段,每一小段抽象地看作是一个质点,这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个,但是解决具体的物理问题的时候,必须从中选取所需要的解,因此,还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式,仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性,所以就物理现象来说,各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件,就是初始条件和边界条件。
拿上面所举的弦振动的例子来说,对于同样的弦的弦乐器,如果一种是以薄片拨动弦,另一种是以弓在弦上拉动,那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“ 拨动” 或“ 拉动” 的那个“ 初始” 时刻的振动情况不同,因此产生后来的振动情况也就不同。
在数学上,对于弦振动的二阶偏微分方程,一般采用分离变法来解,这是一种纯数学的方法。如果我们考虑其物理意义,波在离振源X0 处的振动就是振源在时间上推迟了 t=X0/v, 即引入推迟因子t, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中,一定会满足方程,则该振动方程就是此偏微分方程的解。电磁波也是一种波,其振动应该也满足该理论。进而讨论电磁波的振动的推迟与能量的推迟。
用推迟因子来解,第二种方法物理意义明确,解的过程相对前一种方法大大简化,从而引起对波传播的更深入的研究。
本文讨论了偏微分方程在物理学中的应用,着重于弦振动和电磁波的研究,并讨论了推迟因子的应用。