用差分法求解二阶常微分方程初值问题 (2012年)

在高等数学和常微分方程教学中，二阶线性常微分方程初值问题是一个基础性内容。对于这类问题，传统教材通常介绍的解析解法多用于解决某些特殊类型的方程，如常系数线性常微分方程和欧拉方程等。这些解析方法虽然能够解决一些问题，但其应用范围有限。随着科学研究和工程问题对数值解需求的日益增长，数值解法以其广泛适用性成为求解微分方程的重要手段。其中，差分法作为数值解法的一种，可以在计算机上求得微分方程的近似解。 在本研究中，张守贵教授提出了用差分法求解二阶线性常微分方程初值问题的方法，并对边界条件的处理提出了两种方法。通过对求解区间进行等分割，将微分方程转化为可由计算机求解的差分方程。然后，通过引入节点和步长的概念，建立了一个简单而有效的差分格式，从而得到微分方程的数值解。但这种方法存在局部截断误差，其误差阶为O(h)，即误差与步长成正比，这限制了求解的精度。 为提高数值解的精度，作者进一步探讨了改进处理边界条件的方法。在原有节点的基础上，增加了一个虚节点，通过引入中心差商概念，构造了一个新的差分方程。这种方法将局部截断误差提高到了O(h^2)，即误差与步长的平方成正比，从而显著提升了计算精度。改进后的处理方法不仅提高了数值解的精度，而且对于求解二阶线性常微分方程初值问题具有较强的适应性。 研究中提到的二阶线性常微分方程初值问题的一般形式为Lu≡d²u/dx² + p(x)du/dx + q(x)u = f(x)，其中a≤x≤b，并且初始条件为u(a)=α，u'(a)=β。这里的p(x)、q(x)和f(x)均为区间[a,b]上的连续函数。利用解的存在唯一性定理，可以确保该问题存在唯一解。 在文章的建模过程中，通过将微分方程离散化，即将微分方程中的导数用差商表示，将连续问题转化为离散问题。这一过程中，涉及到两个重要的概念：节点和步长。节点是指所划分的等分割区间上的点，步长则是相邻两个节点之间的距离。通过适当的节点和步长选择，可以有效地控制数值解的计算误差。 通过建立差分方程，可以将原微分方程转化为一组线性方程。然后，通过求解这组线性方程，可以得到每个节点处的近似解。差分方程的建立是通过将微分方程中的导数用差商来近似表示，从而形成一个近似的线性代数方程组。这个方程组的系数矩阵是由微分方程的系数和边界条件共同确定的。 本研究通过对二阶线性常微分方程初值问题的差分法求解，不仅为该类问题提供了新的数值解法，还通过对比和分析，明确了不同边界条件处理方法对解的精度的影响。这为工程应用和科学研究提供了强有力的数值工具，也丰富了常微分方程数值解法的研究内容。